縦6横4の長方形タイルで正方形を作るには何個必要？最小枚数の求め方を図解で解説

縦6、横4の長方形タイルを隙間なく並べて正方形を作る問題は、タイルの面積だけで考えると分かりにくいですが、正方形の一辺の長さを考えると簡単に解くことができます。この記事では、長方形タイルを使って最小の正方形を作る考え方と、なぜその枚数になるのかを図を使ったイメージで解説します。

まずはタイルの形を確認する

1枚のタイルは縦6、横4の長方形です。つまり、タイル1枚の大きさは次のようになります。

縦：6
横：4

このタイルを向きを変えずに並べる場合でも、回転させて横向きに置く場合でも、最終的にできる形は縦と横の長さが同じ正方形である必要があります。

イメージすると、タイルを長方形のまま並べて、大きな四角形を作り、その縦と横を同じ長さにそろえる問題だと考えると分かりやすくなります。

正方形を作るには、タイルの縦の長さ6と横の長さ4の両方で割り切れる長さを、正方形の一辺にする必要があります。

つまり、6と4の公倍数を探します。

6の倍数は、6、12、18、24、30……
4の倍数は、4、8、12、16、20、24……

この中で一番小さい共通の数は12です。

したがって、作る正方形の一辺の長さは12になります。

一辺12の正方形を作ると、図のような配置になります。

縦方向を見ると、タイルの縦6が12の中に2つ入ります。

図で表すと以下のようなイメージです。

【正方形】
┌────────┐
│　6×4　│　6×4　│
│　　　　│　　　　│
├────────┤
│　6×4　│　6×4　│
│　　　　│　　　　│
└────────┘

横方向では、タイルの横4が12の中に3つ入ります。

つまり、縦に2枚、横に3枚並べることになります。

正方形の中には、縦方向に2枚、横方向に3枚のタイルが並ぶため、必要な枚数は次の計算になります。

2×3＝6

したがって、最小で必要なタイルの枚数は6個です。

面積で確認してみても、正方形全体の面積は12×12＝144、タイル1枚の面積は6×4＝24なので、144÷24＝6となり、同じ答えになります。

例えば4枚や5枚で作ろうとしても、正方形の一辺を4と6の両方で割り切れる長さにできません。

長方形タイルを隙間なく並べるには、縦方向にも横方向にもタイルの辺がきれいにそろう必要があります。そのため、一辺の長さは必ず6と4の公倍数になります。

最小の公倍数が12なので、これより小さい正方形を作ることはできません。

長方形タイルを使って最小の正方形を作る問題では、まず「正方形の一辺の長さ」を考えることがポイントです。

手順は次の3ステップです。

今回の場合は、6と4の最小公倍数が12なので、12×12の正方形を作り、6枚のタイルが必要になるという流れになります。

縦6、横4の長方形タイルで正方形を作る場合、正方形の一辺は6と4の最小公倍数である12になります。

12×12の正方形には、縦2枚、横3枚のタイルを並べることができるため、必要なタイルの枚数は2×3＝6枚です。

このような問題では、最初に面積を考えるよりも、縦と横の長さがそろう「最小公倍数」を探すことが解法のポイントになります。