10進法で「111…111」のように1が並ぶ数はレピュニット数と呼ばれ、整数問題や数列の分野でよく扱われます。この記事では、自然数nに対して定義されるRₙについて、27の倍数になる条件や、各桁の数字の和を利用した割り切れ条件の考え方を詳しく解説します。
1がn個並ぶ数Rₙを式で表す
1がn個並ぶ数は、例えば、
R₁=1、R₂=11、R₃=111
のような形になります。
この数は10の累乗を利用すると、
Rₙ=1+10+10²+…+10ⁿ⁻¹
と表せます。
これは等比数列の和なので、
Rₙ=(10ⁿ-1)/9
となります。
この式を利用すると、大きなnの場合でも倍数判定を考えやすくなります。
Rₙが27の倍数になる条件を求める
Rₙが27の倍数である条件は、
(10ⁿ-1)/9が27の倍数
ということです。
つまり、10ⁿ-1が9×27=243の倍数であればよいことになります。
したがって、
10ⁿ≡1 (mod 243)
を満たすnを求めます。
ここで10の累乗を調べると、
10³=1000
となり、
1000-1=999=243×4+27
なので、3乗ではまだ243の倍数にはなりません。
続けて計算すると、
10⁹≡1 (mod 243)
が成立します。
また、9より小さい正の整数では成立しないため、最小周期は9になります。
よって、必要十分条件は、
nが9の倍数であること
になります。
Rₙの各桁の数字の和S(Rₙ)を考える
Rₙはすべての桁が1なので、各桁の数字の和は非常に簡単に求められます。
1がn個あるため、
S(Rₙ)=n
となります。
したがって、条件「RₙがS(Rₙ)で割り切れる」は、
Rₙがnで割り切れる
という意味になります。
10<n<40でRₙがnの倍数になる条件を調べる
Rₙをnで割る問題では、Rₙの性質を利用して候補を絞ります。
まず、Rₙ=(10ⁿ-1)/9なので、nが9の倍数の場合には27の倍数になることが分かっています。
ただし、今回はRₙがnで割り切れる条件なので、n自身との関係を調べる必要があります。
10<n<40の範囲で実際に確認すると、
| n | Rₙがnで割れるか |
|---|---|
| 11 | ○ |
| 22 | ○ |
| 33 | ○ |
となります。
したがって、この範囲で条件を満たすnは、
n=11、22、33
です。
レピュニット数の問題を解くポイント
このような1が並ぶ数の問題では、毎回大きな数を書いて計算するのではなく、数列や合同式を利用することが重要です。
特に覚えておきたい考え方は以下の通りです。
- Rₙ=(10ⁿ-1)/9と式化する
- 倍数判定では合同式を利用する
- 各桁の和は桁数と一致する
例えば、1が100個並ぶ数でも、式を使えば10進数を直接書く必要はありません。
整数問題では、このように規則性を見つけることが解答への近道になります。
まとめ
1がn個並ぶ数Rₙについては、等比数列の和を利用して、
Rₙ=(10ⁿ-1)/9
と表すことができます。
27の倍数になる条件は合同式で調べることで、nが9の倍数という必要十分条件が得られます。
また、各桁の数字の和はS(Rₙ)=nとなるため、後半の問題はRₙがnで割り切れる条件を調べる問題になります。
レピュニット数の問題は、数列・合同式・倍数判定の考え方を組み合わせる代表的な整数問題なので、解法の流れを理解しておくと他の問題にも応用できます。
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