700種類の柄から100柄セットは何通り作れる？組み合わせの計算方法をわかりやすく解説

700種類の柄があり、その中から100種類を選んで1セットを作る場合、いったい何通りの組み合わせができるのか気になることがあります。この記事では、組み合わせの考え方を使って、700柄から100柄を選ぶ場合の計算方法や、なぜこの計算になるのかをわかりやすく解説します。

100柄セットを作る場合は組み合わせの計算になる

700柄の中から100柄を選んでセットを作る場合、重要なのは「選ぶ順番を考える必要があるか」です。

例えば、柄A・柄B・柄Cを選んだセットと、柄C・柄A・柄Bを選んだセットは、中身が同じなので同じ1セットとして扱います。

このように順番を区別せずに選ぶ場合は「組み合わせ」を使います。

組み合わせは数学では「n個の中からr個を選ぶ」ときに、

C(n,r)

という記号で表します。

今回の場合は、700種類の柄から100種類を選ぶため、計算式は以下になります。

C(700,100)

組み合わせの公式を使うと、

C(700,100)=700!÷(100!×600!)

となります。

つまり、700個すべての並び方から、選ばなかった600柄や、選んだ100柄の並び順による重複を取り除いて計算します。

C(700,100)を正確な数字で表すと、非常に大きな数になります。

おおよその桁数だけでも、100桁を大きく超えるほどの膨大な組み合わせです。

つまり、700種類の柄があれば、100柄入りのセットは人間が一生かけても作り切れないほど多くの種類が存在します。

例えば、10柄から3柄を選ぶ場合でも、

C(10,3)=120通り

あります。

700柄という数になると、選択肢は一気に増えることがわかります。

注意したいのは、「700柄を100柄ずつ分けて7セット作る」という意味の場合です。

この場合は単純に700柄から100柄を選ぶだけではなく、残りの600柄から次の100柄を選ぶという考え方になります。

例えば、7つのセットに分けるだけなら、

C(700,100)×C(600,100)×C(500,100)×C(400,100)×C(300,100)×C(200,100)×C(100,100)

のような計算になります。

ただし、セット同士の順番を区別するかどうかによって、この数は変わります。

今回のような「たくさんある種類の中から決められた数を選ぶ」問題では、基本的に組み合わせを使います。

柄のセット作成、商品選び、抽選、カードの選択など、日常生活でも組み合わせの考え方は多く利用されています。

例えば、700種類の商品から100種類を選んで限定セットを作る場合も、同じようにC(700,100)で考えることができます。

700種類の柄から100種類を選んで1セットを作る場合、答えはC(700,100)通りです。

これは約数百桁規模になる非常に大きな数で、現実的にはほぼ無限に近いほど多くのセットを作れることになります。

計算するときは「選ぶ順番を区別するかどうか」を確認し、順番を考えない場合は組み合わせを使う、と覚えておくと同じような問題にも対応できます。