場合分けや絶対値を使わずに微分不可能な関数は作れる？具体例と考え方を解説

微分不可能な関数というと、絶対値を含む関数や場合分けされた関数を思い浮かべる人が多いかもしれません。しかし、数学ではこれらの方法を使わなくても、微分不可能な関数を作ることができます。この記事では、なぜそのような関数が存在するのか、具体例を交えながら微分可能性の条件について解説します。

微分不可能な関数とは何か

関数がある点で微分不可能であるとは、その点における接線の傾きが一つに定まらないことを意味します。

微分係数は、ある点の周辺での変化の割合を極限によって求めます。そのため、グラフが折れ曲がっていたり、急激に振動したりすると、傾きが決まらず微分できない場合があります。

代表的な例としては、f(x)=|x|があります。x=0で左右の傾きが異なるため微分不可能になりますが、これは絶対値を使った分かりやすい例にすぎません。

絶対値や場合分けを使わなくても、例えばf(x)=xの2/3乗という関数は、x=0で微分不可能です。

この関数は場合分けされておらず、絶対値記号も使っていません。しかし、微分するとf'(x)=(2/3)xの-1/3乗となり、x=0では値が定義できません。

つまり、関数の形そのものが尖った性質を持っているため、特別な記号を使わなくても微分不可能な点が生じます。

微分不可能な関数の中には、見た目が滑らかに見えるものもあります。例えば、連続ではあるものの、細かく振動することで微分できなくなる関数があります。

有名な例として、ワイエルシュトラス関数があります。この関数は連続でありながら、どの点でも微分不可能という非常に特殊な性質を持っています。

このような関数は、絶対値や場合分けを使って作るのではなく、無限級数による振動の積み重ねによって作られています。

絶対値や場合分けは、微分不可能な部分を作るための一つの方法です。しかし、本質的には「その点で変化の割合が一つに決まるかどうか」が重要です。

例えば、グラフに尖った部分がある、急激な振動がある、傾きが無限大になるなどの状態では、微分できない可能性があります。

そのため、関数の見た目が複雑な記号で書かれているかどうかではなく、極限として接線の傾きが存在するかどうかを見る必要があります。

通常の多項式関数は、どの点でも何回でも微分可能です。そのため、単純な多項式だけで微分不可能な関数を作ることはできません。

しかし、べき乗関数、三角関数、指数関数、無限級数などを組み合わせることで、場合分けや絶対値を使わずに微分不可能な関数を作ることができます。

例えば、数学では関数の定義方法を工夫することで、連続だがどこでも微分できないような非常に複雑な例も構成されています。

微分不可能な関数を作る方法は、絶対値や場合分けだけではありません。関数の形や振動の性質を利用すれば、通常の式の形でも微分不可能な例を作ることができます。

重要なのは、どのような記号が使われているかではなく、その点で微分係数が存在するかどうかです。

微分の本質を理解すると、絶対値や場合分けは単なる表現方法の一つであり、微分不可能性は関数そのものの性質によって決まることが分かります。