4次式の因数分解は、3次式や2次式のようにすぐ公式が見つからないことが多く、どこに注目すればよいかが重要になります。今回は「X⁴+6X³+8X²−2X−1」という式について、項のまとめ方や置き換えを利用して因数分解する考え方を解説します。
4次式の因数分解で最初に見るポイント
4次式を因数分解するときは、いきなり公式を探すのではなく、式の形を観察することが大切です。
今回の式は、
X⁴+6X³+8X²−2X−1
となっています。
この式を見ると、X⁴やX³が含まれているため、単純な共通因数ではくくれません。また、係数を見ると完全な平方や立方の形にも見えないため、別の工夫が必要になります。
前半と後半に分けて形を作る
4次式では、まず中央の項を利用して平方の形を作ることを考えます。
最初の3項に注目すると、
X⁴+6X³+8X²
となります。
ここで、
(X²+3X)²=X⁴+6X³+9X²
であることに気付きます。
元の式ではX²の係数が8なので、
X⁴+6X³+8X²=(X²+3X)²−X²
と変形できます。
したがって、元の式全体は、
(X²+3X)²−X²−2X−1
となります。
平方の差の形に変形する
ここで後半部分を整理します。
−X²−2X−1
は、
−(X²+2X+1)
と書けます。
X²+2X+1は平方の形なので、
X²+2X+1=(X+1)²
です。
したがって式全体は、
(X²+3X)²−(X+1)²
になります。
これは平方差の公式、
A²−B²=(A+B)(A−B)
を利用できる形です。
平方差の公式を使って因数分解する
A=X²+3X、B=X+1と考えると、
(X²+3X)²−(X+1)²
は、
{X²+3X+(X+1)}{X²+3X−(X+1)}
となります。
それぞれの括弧内を整理すると、
1つ目は、
X²+3X+X+1=X²+4X+1
です。
2つ目は、
X²+3X−X−1=X²+2X−1
です。
よって、
X⁴+6X³+8X²−2X−1=(X²+4X+1)(X²+2X−1)
となります。
この因数分解で使った考え方
今回のポイントは、4次式を無理に4つの因数に分解しようとせず、平方差の形を作ったことです。
特に、
X⁴+6X³+8X²
の部分を、
(X²+3X)²−X²
と見たことが解法の中心になります。
4次式では「2次式の平方」になる部分を探すことで、平方差の公式につなげられる場合があります。
似た問題では、
- 4次式を2次式の平方として見る
- 平方差A²−B²を作る
- 公式を利用して分解する
という流れを意識すると解きやすくなります。
まとめ｜4次式の因数分解は形を見抜くことが重要
X⁴+6X³+8X²−2X−1の因数分解では、平方の形を作ることで解くことができます。
途中の変形は、
X⁴+6X³+8X²−2X−1=(X²+3X)²−(X+1)²
となり、平方差の公式から、
(X²+4X+1)(X²+2X−1)
と因数分解できます。
4次式の因数分解では、公式を暗記するだけではなく、「どのような形に変形すれば知っている公式が使えるか」を考えることが重要です。
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