2つの円が接する条件を利用すると、片方の円の中心座標を求めることができます。今回は、原点を中心とする半径90の円と、x=110の直線上に中心を持つ半径90の円が接するとき、もう一方の円の中心座標をどのように求めるかを解説します。円の接点や中心間距離の考え方は、数学の図形問題で頻繁に登場する重要な考え方です。
2つの円が接する条件を確認する
まず、円Aは原点を中心として半径90なので、中心座標は(0,0)です。円Bの中心はx=110の直線上にあるため、中心座標を(110,y)と置くことができます。
2つの円の半径はどちらも90なので、外側で接する場合、2つの中心間の距離は半径の和になります。
したがって、円Aと円Bが接する条件は、中心間距離が90+90=180になることです。
中心間距離の公式を使って方程式を作る
2点(0,0)と(110,y)の距離は、距離の公式より次のように表せます。
√((110-0)²+(y-0)²)=180
これを整理すると、
√(110²+y²)=180
両辺を2乗して、
110²+y²=180²
となります。
y座標を計算する
数値を代入すると、
12100+y²=32400
したがって、
y²=32400-12100=20300
となります。
よって、
y=±√20300
√20300は、10√203と変形できます。
つまり、円Bの中心座標は、
(110,10√203)または(110,-10√203)
になります。
y座標がマイナスの場合の答え
問題では「y座標がマイナスの方の円B中心の座標」を求めるため、負の値を選びます。
したがって求める円Bの中心座標は、
(110,-10√203)
です。
おおよその数値で表すと、√203は約14.25なので、y座標は約-142.5になります。そのため中心位置は(110,-142.5)付近になります。
円の接点問題で覚えておきたいポイント
今回のような問題では、円同士が接する条件を「中心間の距離」で考えることが基本です。外接する場合は半径の和、内接する場合は半径の差が中心間距離になります。
また、中心座標が条件によって一部決まっている場合は、未知の座標を文字で置き、距離の公式を使って方程式を作ります。
例えば、中心がx=aの直線上にある場合は(a,y)のように置くことで、同じ方法で解くことができます。
まとめ｜円が接する問題は中心間距離に注目する
原点中心で半径90の円Aと、x=110上に中心を持つ半径90の円Bが接する場合、円Bの中心を(110,y)と置いて中心間距離を計算します。
その結果、y座標は±10√203となり、y座標がマイナスの条件を満たす中心座標は(110,-10√203)です。
円の接する条件を解く際は、まず中心間の距離がいくつになるべきかを考え、距離の公式に当てはめることが解法のポイントになります。
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