整数問題では、割り算の余りや商の条件を組み合わせて、未知の数を絞り込む問題がよく出題されます。一見すると条件が多く複雑に見えますが、それぞれの条件を整理すると意外とシンプルな形に変えることができます。
この記事では、3桁の自然数Pについて、8で割った余りや4で割った余り、さらに商の和という条件から数を求める考え方を解説します。余りの周期性や文字式の立て方を理解することで、同じタイプの問題にも対応できるようになります。
まずは余りの条件からPの特徴を整理する
問題では「Pを8で割った余りを3乗した数の一の位は3」とあります。ここで、Pを8で割った余りは0から7までの8種類しかありません。
Pを8で割った余りをaとすると、aは0以上7以下の整数です。そしてa³の一の位を調べることで、aの候補を絞ることができます。
実際に余りごとに確認すると、0³=0、1³=1、2³=8、3³=27、4³=64、5³=125、6³=216、7³=343となります。一の位が3になるのは7³=343の場合だけです。
したがって、Pを8で割った余りは7であることが分かります。
4で割った余りの条件も同じように考える
次に「Pを4で割った余りを3乗した数の一の位は7」という条件を考えます。
Pを4で割った余りをbとすると、bは0、1、2、3のいずれかです。それぞれ3乗すると、0³=0、1³=1、2³=8、3³=27となります。
この中で一の位が7になるものは3³=27だけなので、Pを4で割った余りは3になります。
つまり、Pは8で割ると7余り、4で割ると3余る数であることが分かります。
Pを8で割った商と4で割った商を文字で表す
Pを8で割った商をx、4で割った商をyとします。すると条件から、Pは次のように表せます。
P=8x+7、またP=4y+3
さらに問題文には「Pを8で割ったときの商と、4で割ったときの商の和が61」とあります。つまり、x+y=61です。
ここで2つの式を利用してPを求めていきます。
2つの式を利用して条件を整理する
P=8x+7を4で割った式に代入すると、8x+7=4y+3になります。
整理すると、8x+4=4yとなり、2x+1=yになります。
つまり、4で割った商yは、8で割った商xの2倍に1を足した数になります。
さらにx+y=61なので、x+(2x+1)=61となります。
これを解くと、3x+1=61なので、3x=60、x=20となります。そしてy=2×20+1=41です。
Pの値を計算して答えを確認する
x=20をP=8x+7に代入すると、P=8×20+7=167となります。
実際に確認すると、167÷8は商20、余り7です。7³=343なので一の位は3になります。
また167÷4は商41、余り3です。3³=27なので一の位は7になります。そして20+41=61となり、すべての条件を満たしています。
この問題の作問としてのポイント
このタイプの問題は、単純な計算問題ではなく、余りの性質と文字式を組み合わせる力を見る問題です。
特に、8で割った余りと4で割った余りという条件を別々に処理し、最後に商の関係で一つの数に決定する流れは、整数問題の基本的な考え方が詰まっています。
作問として見ると、余りの条件で候補を限定し、その後に一次方程式へつなげる構成になっているため、中学生が整数の性質を学ぶ問題として適した内容だと言えます。
まとめ
この問題は、余りを3乗したときの一の位という条件から、Pを8で割った余りと4で割った余りを求めることがポイントです。
余りを調べることでP=8x+7、P=4y+3という2つの式を作り、商の和という条件を利用するとPの値を求めることができます。
最終的な答えはP=167となり、余り・商・式の関係を整理することが整数問題攻略の重要なポイントになります。
コメント