惑星の公転周期と公転半径には、一定の関係があります。太陽の周りを回る惑星の場合、公転する距離が大きくなるほど1周するための時間も長くなります。
この関係はケプラーの第3法則やニュートンの万有引力の法則によって説明できます。この記事では、公転周期から公転半径を求める方法や、公転半径から周期を計算する方法を具体例を使って解説します。
惑星の公転周期と公転半径の基本的な関係
太陽の周りを回る惑星では、「公転周期の2乗は公転半径の3乗に比例する」という関係があります。これをケプラーの第3法則と呼びます。
式で表すと以下のようになります。
T² ∝ r³
Tは公転周期、rは公転半径を表します。この式から、公転半径が大きい惑星ほど公転周期も長くなることが分かります。
ただし、この関係は中心にある天体の質量によって変わります。太陽系内の惑星の場合は、太陽の質量がほぼ一定なので、この比例関係を簡単に利用できます。
地球を基準にすると計算しやすい
太陽系の惑星を考える場合、地球を基準にすると計算が簡単になります。
地球の場合、公転周期は約365日、公転半径は約1天文単位（約1億4960万km）です。
地球を基準にすると、以下の式になります。
(公転周期／365日)²＝(公転半径／1天文単位)³
この式を使えば、ある惑星の公転周期や公転半径を求めることができます。
公転周期が400日の惑星の公転半径を求める場合
例えば、公転周期が400日の惑星が太陽の周りを回っているとします。
地球との比較で計算すると、
(400／365)²＝(r／1天文単位)³
となります。
まず400÷365を計算すると約1.096です。その2乗は約1.20になります。
つまり、r³＝1.20なので、rは1.20の立方根になります。
計算すると、公転半径は約1.06天文単位です。
1天文単位は約1億4960万kmなので、この惑星の公転半径は約1億5900万kmになります。
つまり、公転周期400日の惑星は地球より少し外側の軌道を回る惑星になります。
公転半径が2億kmの惑星の公転周期を求める場合
逆に、公転半径が2億kmの惑星の公転周期を考えてみます。
地球の公転半径約1億4960万kmと比較すると、
2億km÷1億4960万km＝約1.34
となります。
ケプラーの第3法則から、公転周期は半径の3乗の平方根に比例します。
つまり、
T＝365日×√(1.34³)
となります。
1.34³は約2.41で、その平方根は約1.55です。
したがって、公転周期は
365日×1.55＝約566日
になります。
公転半径2億kmの惑星は、太陽の周囲を約1年半以上かけて一周することになります。
公転半径が大きくなると周期が長くなる理由
公転半径が大きい惑星ほど周期が長くなる理由は、単純に移動する距離が増えるからだけではありません。
太陽から遠い惑星ほど、太陽の重力による引力が弱くなります。そのため、惑星の公転速度も遅くなります。
例えば、水星は太陽に近いため約88日で公転します。一方、海王星は太陽から非常に遠いため、公転周期は約165年にもなります。
このように、軌道の大きさと速度の変化が組み合わさって、公転周期が決まります。
太陽以外の恒星では関係式は変わる
ここまでの説明は、太陽の周りを回る惑星を想定したものです。他の恒星の周囲にある惑星では、中心星の質量によって公転周期と公転半径の関係が変化します。
例えば、太陽より重い恒星の周りでは、同じ距離を回る惑星でもより強い重力を受けるため、公転周期は短くなります。
そのため、系外惑星を調べる場合には、中心となる恒星の質量も考慮して計算します。
まとめ：公転周期と公転半径はケプラーの第3法則で求められる
惑星の公転周期と公転半径には、「公転周期の2乗は公転半径の3乗に比例する」という関係があります。
太陽系では地球を基準にすることで、公転周期から軌道の大きさを求めたり、公転半径から1年の長さを計算したりできます。
公転周期400日の惑星なら公転半径は約1億5900万km、公転半径2億kmの惑星なら公転周期は約566日になります。
この法則によって、天文学者は遠く離れた惑星の性質を調べ、宇宙に存在する多くの惑星の運動を理解しています。
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