ニュートン算は、一定の割合で増えたり減ったりするものがある問題で、多くの人が苦手に感じやすい分野です。特に牧草と牛・山羊などの問題では、「動物が食べる量」と「牧草が増える量」を同時に考える必要があります。この記事では、牧草地と山羊の問題を例に、ニュートン算の基本的な考え方から解法までを分かりやすく解説します。
ニュートン算とはどんな問題なのか
ニュートン算とは、一定の速さで増えるものと、一定の速さで減るものが同時に存在する問題です。代表的な例として、牧草が成長する一方で、牛や山羊が牧草を食べ続ける問題があります。
普通の算数の問題では、最初にある量だけを考えれば解けることが多いですが、ニュートン算では「時間が経つ間にも増加している量」を考える必要があります。
今回の問題では、山羊が牧草を食べる量と、牧草が自然に増える量の2つを分けて考えることがポイントになります。
問題文から分かる条件を整理する
問題は次の内容です。
「山羊が30匹いると21日で牧草が無くなり、20匹いると42日で牧草が無くなる。このとき山羊が40匹いると何日で牧草が無くなるか」
まず、山羊1匹が1日に食べる牧草の量を1とします。
すると、30匹の山羊が1日に食べる量は30、20匹なら20になります。
また、牧草は時間が経つと増えるため、1日に増える牧草の量を「a」、最初にある牧草の量を「b」とします。
30匹と20匹の場合の式を作る
30匹の場合、21日で牧草が無くなるので、21日間で山羊が食べた量と、牧草の増加量を考えます。
最初の牧草量をb、1日の牧草の増加量をaとすると、21日後までに存在する牧草の総量は、最初の牧草量と増えた牧草量を合わせて考えます。
つまり、山羊が食べた量は次のようになります。
30×21＝630
この間、牧草も21aだけ増えているため、最初の牧草量は次の式で表せます。
b＋21a＝630
同じように20匹の場合は42日で無くなるので、
b＋42a＝20×42＝840
となります。
牧草の増える量を求める
2つの式を比べます。
b＋21a＝630
b＋42a＝840
下の式から上の式を引くと、bが消えます。
21a＝210
したがって、a＝10となります。
つまり、この牧草地では1日に牧草が10匹分増えていることになります。
この「自然に増える量」を求めることが、ニュートン算を解く重要なポイントです。
山羊40匹の場合の日数を求める
40匹の山羊がいる場合、山羊が1日に食べる量は40です。しかし、牧草は1日に10ずつ増えています。
そのため、実際に牧草が減っていく速さは、
40－10＝30
となります。
最初の牧草量は、30匹の場合から求められます。
b＋21×10＝630
b＋210＝630
b＝420
つまり、最初には山羊420匹分の牧草がありました。
40匹の場合は1日に30匹分ずつ減るため、
420÷30＝14
となります。
したがって、山羊が40匹いる場合、牧草は14日で無くなることになります。
ニュートン算を解くときのコツ
ニュートン算では、単純に「山羊の数と日数の比例」と考えてはいけません。なぜなら、牧草が時間とともに増えているからです。
重要なのは、次の3つを区別することです。
- 最初にある量
- 一定時間ごとに増える量
- 動物などが消費する量
この3つを分けて考えると、複雑に見える問題でも式を作ることができます。
また、2つの条件から「増加量」を消去法で求める方法は、ニュートン算の基本的な解法です。
まとめ
牧草と山羊の問題は、ニュートン算の代表的な問題です。単純に山羊の数だけで考えるのではなく、牧草が自然に増えていることを考慮する必要があります。
今回の問題では、30匹と20匹の場合を比較することで、牧草が1日に10匹分増えることが分かりました。その後、40匹の場合の実際の減少量を求めることで、答えの14日を導くことができます。
ニュートン算は「増える量」と「減る量」を分けて考えることができれば、決して難しい問題ではありません。まずは条件を整理して、2つの式を作ることを意識すると解きやすくなります。
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