不定方程式113(x-6)=-45(y+15)の整数解で符号を変えてもよい場合とダメな場合を解説

不定方程式では、文字を含む式を満たすすべての整数解を求めるため、一般解をパラメータを使って表します。しかし、同じように見える式でも、整数解の表し方には決まりがあり、パラメータの符号を自由に変えてよい場合と注意が必要な場合があります。

今回は113(x-6)=-45(y+15)という不定方程式を例に、なぜ整数解がx=45k+6,y=-113k-15と表されるのか、またx=-45k+6,y=113k-15としてはいけない理由を詳しく解説します。

まず不定方程式を変形して整数解を求める

与えられた式は、113(x-6)=-45(y+15)です。この式を展開すると、113x-678=-45y-675となります。

整理すると、113x+45y=3となります。この形にすると、整数解を求める問題として扱いやすくなります。

この方程式では、xとyが整数になる組をすべて求めることが目的です。そのため、1つの解を見つけた後、整数になる変化の仕方を考えます。

式113(x-6)=-45(y+15)を見ると、左辺の113と右辺の45が互いに素であることが分かります。

つまり、45が(x-6)を割り切り、113が(y+15)を割り切る必要があります。そのため、ある整数kを使って次のように置けます。

x-6=45k、y+15=-113k

これをそれぞれ整理すると、

x=45k+6
y=-113k-15

となり、これが整数解の一般形になります。

ここで重要なのは、kは整数なので、正負どちらの値も取れるという点です。実は、x=-45k+6,y=113k-15という形も、一見すると同じように見えます。

しかし、この式に使われているkが、元の一般解で使われているkと同じ意味だと考えると混乱します。パラメータの名前を変更する場合は注意が必要です。

元の一般解でkを-kに置き換えてみます。

x=45(-k)+6=-45k+6
y=-113(-k)-15=113k-15

つまり、x=-45k+6,y=113k-15という形も実は整数解の表し方として正しいです。

ただし、数学の解答では通常、最初に決めたパラメータの向きをそのまま使って表すため、x=45k+6,y=-113k-15という形を採用することが多いです。

不定方程式の一般解は、見た目が違っていても同じ解の集合を表している場合があります。

例えば、整数kがすべての整数を動く場合、kと-kは同じ範囲を動きます。そのため、

x=45k+6,y=-113k-15

と

x=-45k+6,y=113k-15

は、実は同じ整数の組をすべて表しています。

例としてk=1の場合、前者ではx=51,y=-128になります。後者でk=-1を代入すると同じx=51,y=-128になります。

不定方程式では、文字kの置き方によって一般解の見た目が変わります。そのため、答えの形が違って見えても、実際に同じ整数解を表していることがあります。

確認するときは、kを任意の整数として動かしたときに、得られる(x,y)の組が完全に一致するかを見ることが大切です。

一方で、kの範囲が「自然数」などと指定されている場合は注意が必要です。整数ではなく正の数などに限定されると、kと-kは同じ範囲ではなくなるため、自由に符号を変えることはできません。

113(x-6)=-45(y+15)の整数解は、通常x=45k+6,y=-113k-15(kは整数)と表されます。

しかし、kがすべての整数を取る場合は、kを-kに置き換えることでx=-45k+6,y=113k-15という形でも同じ解を表現できます。

つまり、この2つの表し方に本質的な違いはありません。重要なのは、パラメータがどの範囲を動くのかを確認し、同じ整数解の集合を表しているかどうかを判断することです。