数学では、関数の大小関係を表す不等式を積分する場面で「等号は常には成立しないので不等号はそのままではなく厳密な不等号になる」と説明されることがあります。
しかし、実際には「もともとの不等号が≦なのだから、積分後も≦のままで問題ないのではないか」と疑問に感じる人も少なくありません。この記事では、不等式を積分したときの不等号の扱いと、「等号が成立しない」という表現の本当の意味について解説します。
不等式は積分しても基本的にはそのまま保たれる
まず、区間[a,b]で常にf(x)≦g(x)が成立しているとします。このとき、両辺を積分すると、
∫ₐᵇf(x)dx≦∫ₐᵇg(x)dx
という関係が成立します。
これは積分が「面積の合計」と考えられるためです。f(x)が常にg(x)以下なら、f(x)で作られる面積がg(x)で作られる面積を超えることはありません。
したがって、「≦をつけていても間違いではない」という考え方は正しい場合があります。
なぜ「等号は常には成立しない」と言われるのか
数学の教科書や問題解説で「等号は成立しない」と注意される理由は、不等式の評価をより正確に表すためです。
例えば、
f(x)≦g(x)
が成立していても、積分した結果が必ず
∫ₐᵇf(x)dx＜∫ₐᵇg(x)dx
になるとは限りません。
逆に、等号が成立する可能性もあります。その条件は、区間全体でf(x)とg(x)が一致している場合です。
等号が成立する条件とは
積分後に等号が成立するためには、
∫ₐᵇf(x)dx=∫ₐᵇg(x)dx
となる必要があります。
これは、差を考えると分かりやすくなります。
∫ₐᵇ(g(x)-f(x))dx=0
であれば等号が成立します。
ここでg(x)-f(x)は常に0以上です。0以上の関数の積分が0になるためには、その関数が区間全体で0である必要があります。
つまり、
g(x)-f(x)=0
すなわち、f(x)=g(x)が区間全体で成立している必要があります。
具体例で見る積分不等式の違い
例えば、区間[0,1]で、
f(x)=x、g(x)=1
とします。
この場合、0≦x≦1なので、
x≦1
が成立します。
両辺を積分すると、
∫₀¹x dx=1/2
∫₀¹1 dx=1
となり、
1/2＜1
です。
この例では積分後に厳密な不等号になります。
一方で、f(x)=g(x)=xの場合なら、
∫₀¹x dx=∫₀¹x dx
となり、等号が成立します。
「≦」と「＜」は数学的な意味が違う
不等式を扱うときに重要なのは、「≦」と「＜」を区別することです。
| 記号 | 意味 |
|---|---|
| f(x)≦g(x) | f(x)はg(x)以下（等しい場合も含む） |
| f(x)＜g(x) | f(x)は必ずg(x)より小さい |
もとの条件が「以下」であるなら、積分後も「以下」と書くこと自体は正しいです。
ただし、問題の条件から「f(x)とg(x)が一致することはない」と分かっている場合には、積分後は「＜」に変更できます。
「等号は常には成立しない」という表現の正しい理解
この表現は、「絶対に等号が成立しない」という意味ではありません。
正確には、「与えられた条件だけでは等号成立を保証できない」または「一般的には等号が成立しない」という意味で使われています。
例えば、f(x)≦g(x)という条件だけでは、f(x)=g(x)の場合も含まれるため、積分結果を必ず＜にすることはできません。
逆に、f(x)＜g(x)が区間内のすべての点で成立しているなら、積分後も必ず、
∫ₐᵇf(x)dx＜∫ₐᵇg(x)dx
になります。
まとめ｜積分後の不等号は条件を見て判断する
関数の不等式f(x)≦g(x)を積分すると、基本的には、
∫f(x)dx≦∫g(x)dx
と書くことができます。そのため、「≦のままでも間違いではない」という考え方は正しいです。
ただし、数学の解答では「等号が成立する条件」を考える必要があり、f(x)とg(x)が区間全体で一致しないことが分かっている場合には、積分後は厳密な不等号になります。
大切なのは「積分したら必ず＜になる」と暗記するのではなく、等号が成立する可能性があるかどうかを確認して不等号を決めることです。
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