斜面上に置かれた物体とばね、摩擦力が関係する力学の問題では、力のつり合いを正しく考えることが重要です。特に、ばねの伸びが0の状態から手を離す瞬間では、どの力が働いているのかを整理する必要があります。
この記事では、鉛直方向に吊るすと一定の伸びを示すばねを斜面上で使用した場合について、物体が動き始める条件とtanαの求め方を詳しく解説します。
ばねが自然長のときに働く力を確認する
問題文では、ばねが自然の長さに保たれるようにPを手で支えているとあります。この状態では、ばねの伸びは0なので、フックの法則よりばねによる弾性力は0になります。
したがって、手を離した瞬間にPへ働く力は、重力と斜面から受ける垂直抗力、そして摩擦力です。ばねの力を考える必要はありません。
ここで重要なのは、物体が動き出す直前では静止摩擦力が最大値になっているという点です。最大静止摩擦力は、垂直抗力Nを用いてμNで表されます。
斜面方向の力を分解する
重力mgは、斜面に平行な方向と垂直な方向に分けて考えます。斜面に沿って下向きに働く力はmg sinθ、斜面に垂直な方向の成分はmg cosθです。
垂直方向では物体は動かないため、垂直抗力Nは重力の垂直成分とつり合います。
N＝mg cosθ
となります。
そのため、動き出す直前の最大静止摩擦力は、
μN＝μmg cosθ
となります。
動き始める条件からtanαを求める
Pが動き始める直前では、斜面下向きの重力の分力と最大静止摩擦力がつり合っています。
したがって、
mg sinθ＝μmg cosθ
となります。
両辺をmgで割ると、
sinθ＝μcosθ
さらにcosθで割ることで、
tanθ＝μ
を得ることができます。
物体が動き始める角度をαとしているので、
tanα＝μ
となります。
解答の考え方は合っているのか
提示された解法では、「ばねの伸びが0だから弾性力は0」「重力の斜面方向成分と最大静止摩擦力がつり合う」という考え方は正しいです。
ただし、途中で最大静止摩擦力を明確に書くためには、垂直抗力を求める過程を入れるとより正確な解答になります。
つまり、
mg sinθ＝μmg cosθ
から、
tanα＝μ
を導く流れで問題ありません。
この問題で注意すべきポイント
この種類の問題では、ばねがあることで「必ずばねの力を考えなければならない」と思いがちですが、自然長では弾性力は発生しません。
また、物体が動き始める瞬間は静止摩擦力が最大になっているため、単なる摩擦力ではなく最大静止摩擦力μNを使うことがポイントです。
例えば、斜面の角度を少しずつ大きくしていくと、最初は摩擦力によって止まっています。しかし、重力の斜面方向成分が最大静止摩擦力を超えた瞬間に物体は滑り始めます。
まとめ
ばねが自然長の状態では弾性力は0なので、物体Pに働く力は重力、垂直抗力、静止摩擦力のみです。
動き始める直前では、重力の斜面方向成分と最大静止摩擦力がつり合うため、
mg sinα＝μmg cosα
となり、整理するとtanα＝μになります。
したがって、求め方の方向性は正しく、より丁寧に解くなら垂直抗力を求めてから最大静止摩擦力を使う流れにすると、力学の答案として完成度が高くなります。
コメント