関数が極大値や極小値を持つ条件から、定数kの範囲を求める問題は、数学Ⅲでよく登場する重要なテーマです。多項式関数では微分した導関数の実数解の個数を調べる方法が使われますが、sinやlogなどの関数が含まれる場合や、kの係数がx²のように単純な形でない場合は別の考え方が必要になります。
この記事では、極値を持つ条件を利用してkの範囲を求める基本的な考え方から、例としてf(x)=sinx+kx²のような問題をどのように処理するかについて解説します。
極値を持つ条件は微分した式から考える
関数f(x)が極大値や極小値を持つためには、まず導関数f'(x)=0となる点が存在する必要があります。
例えば、四次関数の場合は微分すると三次関数になります。その三次関数が異なる3つの実数解を持つと、元の四次関数は増減を繰り返すため、極大値と極小値を持つことになります。
つまり、多項式の場合は「微分後の関数がどのような実数解を持つか」を調べることが基本になります。しかし、sinやlogが入る場合は三次方程式のように解の個数だけを見る方法は使えません。
kの係数がxの場合は定数分離が利用できる
例えば、f(x)=sinx+kxのような関数を考えます。微分すると、f'(x)=cosx+kになります。
極値を持つ条件はf'(x)=0となるxが存在することなので、cosx+k=0よりk=-cosxと変形できます。
このようにkだけを左辺に移すことで、kがある範囲の値を取るときに解が存在するかを調べることができます。これを定数分離と呼びます。
kの係数がx²の場合は単純な定数分離では終わらない
では、f(x)=sinx+kx²の場合を考えてみます。微分すると、f'(x)=cosx+2kxになります。
極値を持つためには、cosx+2kx=0となるxが存在する必要があります。この式をkについて整理すると、k=-cosx/(2x)となります。
ここで重要なのは、kが単なる定数ではなく、xの関数として表されている点です。つまり、xが変化するとkの値も変化するため、kが取り得る範囲を調べる問題になります。
kの範囲を求めるにはkを表す関数の最大値・最小値を見る
f'(x)=0からk=-cosx/(2x)と変形できた場合、問題は「関数g(x)=-cosx/(2x)がどのような値を取るか」を調べる問題に変わります。
つまり、kの範囲はg(x)の値域になります。そのため、g(x)をさらに微分して増減表を作り、最大値や最小値を調べる必要があります。
この考え方は、kの係数がx、x²、さらに複雑な関数になった場合でも共通しています。「kを単独で表し、その式が作る値域を調べる」という流れになります。
極小値を持つ条件では符号変化も確認する
f'(x)=0となる点が存在するだけでは、必ず極小値になるとは限りません。導関数の符号が負から正へ変化する必要があります。
例えば、あるx=aでf'(a)=0になったとしても、その前後でf'(x)が正から負へ変化する場合は極大値になります。
そのため、kの範囲を求めた後は、実際に増減を確認して極小値になる条件を満たしているかを確認することが大切です。
複雑な関数でも基本の流れは同じ
sinやlogを含む関数では、三次方程式の判別式のような便利な公式を使えない場合が多くあります。しかし、考え方の基本は変わりません。
まず微分して極値の条件f'(x)=0を作り、次にkについて整理します。そしてkを表す関数の値域を調べ、最後に極大・極小になる条件を確認します。
例えば、f(x)=logx+kx²のような問題でも、微分後にkを含む式を作り、kについて解いた式の範囲を分析するという手順になります。
まとめ
極値を持つ条件からkの範囲を求める問題では、四次関数のような多項式なら微分後の解の個数を調べる方法が有効です。
一方で、sinやlogなどが含まれ、kの係数がx²などになる場合は、微分した式からkを関数として表し、その値域を求めることが基本になります。
ポイントは「微分した式を0にする」だけで終わらず、「kを含む条件をkだけの式に変換し、その式が取り得る範囲を調べる」という発想です。この考え方を身につけると、さまざまな形の極値問題に対応できるようになります。
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