2^a+3^b=a・b^pは正の整数解を持つのか？指数方程式を合同式で考える解法

指数が含まれる整数方程式は、見た目が複雑でも、合同式や偶奇性などの性質を利用することで解決できる場合があります。今回は、2^a+3^b=a・b^p（b≧3）という方程式について、正の整数解が存在するかどうかを考える方法を解説します。

このような問題では、具体的な数値を試すだけではなく、左辺と右辺が持つ「割り切れ方」や「余り」に注目することが重要です。

問題の式と考えるべきポイント

考える方程式は、2^a+3^b=a・b^p（b≧3）です。ここでa、b、pはすべて正の整数です。

左辺は2のべき乗と3のべき乗の和であり、右辺はaとb^pの積です。このような形では、まず偶数か奇数かを調べることが基本になります。

特に2^aは必ず偶数、3^bは奇数なので、左辺全体がどのような性質を持つかを確認することから始めます。

2^aはaが正の整数なので必ず偶数です。一方、3は奇数なので、3^bも奇数になります。

したがって、左辺は「偶数＋奇数」となり、必ず奇数になります。

つまり、2^a+3^bは奇数であるため、右辺のa・b^pも奇数でなければなりません。

積が奇数になるためには、掛け合わせる両方が奇数である必要があります。よって、aは奇数、bも奇数であることが分かります。

bは3以上の奇数なので、3の倍数かどうかで場合分けして考えることができます。

もしbが3の倍数である場合、右辺のa・b^pは3で割り切れます。

しかし左辺を3で見ると、3^bは3の倍数ですが、2^aは3を法とすると周期的に変化します。2のべき乗は3を法として1または2になります。

aが奇数の場合、2^aは3を法として2になります。したがって、左辺は

2^a+3^b≡2+0≡2（mod 3）

となり、3では割り切れません。

これは右辺が3で割り切れるという条件と矛盾します。したがって、bは3の倍数ではありません。

bが3の倍数でない場合、b^pも3では割り切れません。そのため右辺の3に関する性質は、aの値によって決まります。

一方、左辺については3を法とした余りが常に2になります。

つまり、a・b^p≡2（mod 3）となる必要があります。b^pは0ではないため、逆元を考えることでaの余りに条件が付きます。

このように合同式によってaやbの取り得る形を制限できます。

左辺は奇数であることが分かっています。そのため、右辺も奇数です。すでにaとbが奇数であることが分かっています。

ここでbが奇数であることを利用すると、b^pも奇数になります。

したがって、右辺は奇数同士の積となりますが、指数方程式ではさらに細かい合同条件を調べることで矛盾を導ける場合があります。

例えば8や16を法として2^aの性質を見ると、指数によって左辺の余りが限定され、右辺との一致が難しくなることがあります。

この問題のような指数方程式では、いきなりa、b、pの値を探すのではなく、まず数の性質を調べることが重要です。

代表的な手法として、以下のようなものがあります。

これらを組み合わせることで、無限に存在する可能性がある整数の候補を大幅に絞ることができます。

2^a+3^b=a・b^p（b≧3）という方程式は、単純に数値を探す問題ではなく、整数の性質を利用して考える問題です。

まず偶奇性からa、bが奇数であることを導き、さらに合同式を使って条件を絞り込むことで、解の存在可能性を調べることができます。

このような問題を解く際には、指数の大きさに惑わされず、「どの数で割ったときにどんな余りになるか」に注目することが、整数問題を攻略する大きなポイントになります。