指数を含む数学の問題では、異なる数のべき乗が登場すると、どのように式を変形すればよいか迷うことがあります。特に「7^x=9」「63^y=3」のように底が異なる指数方程式では、同じ形にそろえる考え方が重要になります。
この記事では、指数法則を利用して条件を整理し、2x-yの値を求める考え方をわかりやすく解説します。単に答えを出すだけでなく、指数問題で使える基本的な解法の流れも紹介します。
指数方程式では底をそろえることが重要
指数を含む方程式を解くときは、まず同じ底の形に変換できないかを考えます。
例えば、2^xと8^yが同じ問題に出てきた場合、8を2の3乗として表すことで、指数部分を比較しやすくなります。
今回の問題では、7^x=9という式と63^y=3という式が登場します。一見すると7と63は別の数ですが、63は7を使って表現できます。
7^x=9の式を変形する
まず、7^x=9という条件から考えます。
9は3の2乗なので、
7^x=3^2
となります。
この式から、指数の形を利用して後の計算につなげます。両辺の対数を取る方法もありますが、今回は63の関係を利用すると簡単に処理できます。
63^y=3を7と9を使った形に変える
63は、7と9を使って次のように表せます。
63=7×9
したがって、
63^y=(7×9)^y
となります。
積の指数法則より、
(7×9)^y=7^y×9^y
です。
問題の条件より、7^x=9なので、7^xを利用して式を整理することができます。
2x-yを求めるための式変形
7^x=9という関係から、9を7の指数で表すと考えます。
63^y=3について、63=7×9なので、
63^y=(7×9)^y=7^y×9^y
となります。
ここで9=7^xなので、
7^y×9^y=7^y×(7^x)^y
指数法則を使うと、
7^y×7^{xy}=7^{y+xy}
となります。
一方、63^y=3であり、7^x=9=3^2なので、
3=7^{x/2}
と表せます。
したがって、
7^{y+xy}=7^{x/2}
底が同じなので指数を比較して、
y+xy=x/2
となります。
式を整理して答えを求める
先ほどの式、
y+xy=x/2
を整理します。
y(1+x)=x/2
となります。
ここで、求めたいのは2x-yです。条件式をさらに利用します。
7^x=9より、xは1より大きい値ではありません。対数を使って考えると、
x=log_7 9
です。
また、63^y=3より、
y=log_{63}3
となります。
63=7×9=7×7^x=7^{1+x}
なので、
63^y=(7^{1+x})^y=7^{y(1+x)}
となり、これが3=7^{x/2}に等しいため、
y(1+x)=x/2
が得られます。
よって、
y= rac{x}{2(1+x)}
です。
この値を使うと、
2x-y=2x- rac{x}{2(1+x)}
となり、x=log_7 9を代入して整理すると、
2x-y=3
となります。
指数問題を解くときのポイント
指数方程式では、数字そのものを見るのではなく、「同じ底にそろえられるか」を考えることが大切です。
今回の問題では、63を7×9として分解し、さらに9を7^xとして置き換えることで、すべてを7の指数で表すことができました。
このように、与えられた条件を別の形に変換する力が指数問題では重要になります。
まとめ
「7^x=9」「63^y=3」のような指数方程式では、底をそろえて考えることが解法の基本になります。
今回のポイントは、63を7×9と分解し、9=7^xという条件を利用して7の指数だけの式に変形することでした。
指数問題は複雑に見えても、関係する数を同じ形に置き換えることで整理できます。指数法則を正しく使い、式変形の流れを身につけることが重要です。
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