倍数に関する問題では、複数の条件を同時に満たす数を見つける必要があります。特に「ある数を足すと別の数の倍数になる」という条件は、余りや周期を利用すると効率よく解くことができます。この記事では、43と47に関する倍数条件を例に、最小の自然数を求める考え方と計算方法を詳しく解説します。
問題文の条件を整理する
求める自然数をnとします。条件は次の2つです。
- nに43を足すと47の倍数になる
- nに47を足すと43の倍数になる
これを式で表すと、ある整数a、bを使って次のように書けます。
n＋43＝47a
n＋47＝43b
つまり、nは43と47に対して特別な余り方をする数だと分かります。
余りを使って条件を考える
1つ目の条件から考えます。n＋43が47の倍数なので、nを47で割った余りは、43を47から引いた余りに関係します。
n＋43≡0（mod 47）
43は47より4小さいため、43を足して47の倍数になるには、nは4を引いた形になります。つまり、
n≡4（mod 47）
となります。
同様に、2つ目の条件では、
n＋47≡0（mod 43）
47を43で見ると47＝43＋4なので、
n＋4≡0（mod 43）
となり、
n≡39（mod 43）
となります。
2つの条件を満たす数を探す
ここまでで、nは次の2つの条件を満たすことが分かりました。
n≡4（mod 47）
n≡39（mod 43）
まず1つ目の条件から、nを次の形で表します。
n＝47k＋4
これを2つ目の条件に代入します。
47k＋4≡39（mod 43）
47は43で割ると4余るので、
4k＋4≡39（mod 43）
となります。
両辺から4を引くと、
4k≡35（mod 43）
になります。
kの値を求めて最小のnを計算する
4k≡35（mod 43）を解きます。43は素数なので、4の逆数を考えることができます。
4×11＝44≡1（mod 43）なので、4の逆数は11です。
両辺に11を掛けると、
k≡35×11（mod 43）
35×11＝385なので、43で割ると385＝43×8＋41となります。
したがって、
k≡41（mod 43）
最も小さい自然数を求めるため、k＝41とします。
すると、
n＝47×41＋4
47×41＝1927なので、
n＝1931
となります。
nの各位の数の和を求める
求めた自然数は1931です。
各位の数字を足すと、
1＋9＋3＋1＝14
となります。
したがって、選択肢ではB.14が正解です。
このタイプの倍数問題を解くコツ
このような問題では、単純に数字を順番に試すよりも、余りの関係を利用すると短時間で解くことができます。
ポイントは「〇を足すと△の倍数になる」という条件を、「割ったときの余り」に置き換えることです。余りの式に変換すると、2つ以上の条件を整理しやすくなります。
例えば「5を足すと7の倍数」「7を足すと5の倍数」のような問題でも、同じように合同式を利用して解くことができます。
まとめ｜倍数条件の問題は余りに注目すると解ける
43と47の条件を満たす最小の自然数は1931であり、その各位の和は14になります。
この問題のように複数の倍数条件が出てくる場合は、数字を探すのではなく、余りの関係に変換することが解答への近道です。
合同式の考え方を身につけると、難しく見える倍数問題でも効率よく解けるようになります。
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