二次関数の問題では、「頂点の座標」と「通る1点」が与えられたときに、どのように式を決定するかが重要になります。特に、解答で提示された式が本当に条件を満たしているのか、またなぜその式が1つに決まるのかを説明できることが大切です。本記事では、頂点が(2,-1)、点(3,2)を通る二次関数の求め方を例に、考え方を詳しく解説します。
頂点が分かる二次関数はどの形で表すか
二次関数の頂点が(a,b)である場合、基本形はy=A(x-a)^2+bで表すことができます。
これは頂点形式と呼ばれる形で、グラフの頂点がすぐに読み取れるため、頂点が与えられている問題では最も使いやすい形です。
今回の問題では頂点が(2,-1)なので、まず二次関数を次のように置きます。
y=A(x-2)^2-1
この時点ではAがまだ決まっていません。このAを、もう1つ与えられた条件から求めます。
通る点(3,2)を代入して係数を求める
求める二次関数は点(3,2)を通るので、x=3、y=2を代入します。
2=A(3-2)^2-1
ここで(3-2)=1なので、
2=A×1²-1
つまり、
2=A-1
となります。
両辺に1を足すと、A=3が求まります。
したがって、求める二次関数は、
y=3(x-2)^2-1
となります。
提示された解答の確認方法
提示された解答では、まずy=3(x-2)^2-1が頂点(2,-1)を持つことを確認しています。
実際にx=2を代入すると、
y=3(2-2)^2-1=-1
となるため、頂点のy座標は-1になります。また、x座標も2なので頂点は確かに(2,-1)です。
さらに、点(3,2)を通るか確認すると、
y=3(3-2)^2-1=3×1-1=2
となり、条件を満たしています。
したがって、この確認方法は正しく、解答として問題ありません。
なぜ条件を満たす二次関数は1つだけなのか
二次関数は一般的にはy=ax²+bx+cの3つの係数によって決まります。しかし、頂点が与えられている場合は、頂点形式を使うことで未知数を1つに減らすことができます。
今回の場合、頂点(2,-1)によって式はy=A(x-2)^2-1という形まで決まっています。残る未知数はAだけです。
そして、もう1つの条件である点(3,2)を代入するとAがただ1つに決まります。そのため、条件を満たす二次関数もただ1つになります。
この考え方は、二次関数の問題で頻繁に使われる重要な考え方です。
よくある間違いと注意点
このタイプの問題では、頂点の座標をそのままy=ax²+bの形に入れてしまう間違いがあります。
例えばy=A(x-2)^2-1ではなく、y=Ax²-1としてしまうと、グラフの中心位置がずれてしまい、頂点が(0,-1)になってしまいます。
頂点が移動している場合は、必ず(x座標のずれ)を考えて(x-a)^2の形にすることが重要です。
また、最後に求めた式が本当に条件を満たすかを代入して確認する習慣をつけると、計算ミスを防ぐことができます。
まとめ：提示された二次関数の解答は正しい
頂点が(2,-1)で、点(3,2)を通る二次関数は、頂点形式y=A(x-2)^2-1から考えることで求められます。
点(3,2)を代入するとA=3となるため、答えはy=3(x-2)^2-1です。
提示された解答は、頂点の確認と通過点の確認を行っており、さらに条件を満たす二次関数が一意に決まる理由も説明されているため、数学的に正しい解答と言えます。
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