三角関数を含む定積分では、式の形をそのまま計算しようとすると複雑に見える場合があります。しかし、積分区間の対称性や三角関数の基本的な性質を利用すると、意外に簡単な形へ変形できます。
この記事では、0<a<π/2の条件のもとで、∫[-a,a]√(1-(cos²a/cos²x))dxをどのように考えて計算するかを詳しく解説します。
まず積分する関数の形を整理する
与えられた積分は、
I=∫[-a,a]√(1-(cos²a/cos²x))dx
です。
平方根の中を整理すると、
1-(cos²a/cos²x)=(cos²x-cos²a)/cos²x
となります。
したがって、
√(1-(cos²a/cos²x))=√(cos²x-cos²a)/|cosx|
となります。
ここで条件0<a<π/2に注目します。積分範囲は-aからaであり、この範囲ではcosxは常に正なので、
|cosx|=cosx
としてよいです。
よって、
I=∫[-a,a]√(cos²x-cos²a)/cosx dx
となります。
三角関数の差を利用して変形する
cos²x-cos²aは、平方差の公式を使うと整理できます。
cos²x-cos²a=(cosx-cosa)(cosx+cosa)
また、
cos²x-cos²a=sin²a-sin²x
とも書けます。
したがって、
I=∫[-a,a]√(sin²a-sin²x)/cosx dx
となります。
この形では、sinxを変数とする置換が有効になります。
積分区間の対称性を利用する
関数
f(x)=√(1-(cos²a/cos²x))
について考えます。
cos(-x)=cosxなので、
f(-x)=f(x)
となり、この関数は偶関数です。
そのため、
∫[-a,a]f(x)dx=2∫[0,a]f(x)dx
が成立します。
よって、
I=2∫[0,a]√(1-(cos²a/cos²x))dx
として計算できます。
sinxを使った置換で積分を簡単化する
0からaまでの積分を考えます。
I=2∫[0,a]√(sin²a-sin²x)/cosx dx
ここで、
u=sinx
と置きます。
すると、
du=cosx dx
なので、
dx=du/cosx
となります。
このままではcosxが残るため、
cos²x=1-sin²x=1-u²
を利用します。
よって、積分は
I=2∫[0,sina]√(sin²a-u²)/(1-u²)du
となります。
ここからさらにu=sina・sinθなどの置換を行うことで標準的な積分へ変換できます。
最終的な積分結果
上記の変形を進めると、この積分は円弧の面積に関係する標準形となり、計算結果は次のようになります。
I=π(1-cosa)
となります。
つまり、複雑に見える三角関数の定積分ですが、積分区間の対称性と三角関数の恒等式を利用することで簡単な結果に整理できます。
この問題で重要な考え方
今回の積分で重要なのは、いきなり計算を始めることではなく、まず式の性質を見ることです。
- 平方根の中を整理する
- 積分範囲で符号を確認する
- 偶関数なら積分区間を半分にする
- 三角関数の置換を利用する
特に、絶対値が出てくる式では、積分区間で符号が変化するかどうかを確認することが重要です。
今回の場合、0<a<π/2という条件によってcosxが正になるため、|cosx|をcosxとして扱えることが計算を簡単にしています。
まとめ｜三角関数の積分は形の整理から始める
∫[-a,a]√(1-(cos²a/cos²x))dxのような積分では、複雑な計算をする前に、関数の対称性や三角関数の恒等式を利用することが大切です。
今回のポイントは、偶関数による積分区間の簡略化、cos²x-cos²aの変形、そして適切な置換による標準形への変換です。
三角関数を含む定積分では、公式をただ暗記するよりも「どの性質を使えば簡単になるか」を考えることで、初見の問題にも対応できるようになります。
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