数学では、絶対値や平方根を含む不等式を変形するとき、両辺を2乗してよいかどうかに注意が必要です。特に「│A│≦√B」と「A²≦B」が同じ意味になるのかは、Bの条件や平方根の性質を理解して判断する必要があります。この記事では、絶対値と平方根を使った不等式の関係を具体例を交えながら解説します。
絶対値と平方根を含む不等式の基本的な考え方
まず、│A│は「Aの絶対値」を表します。絶対値とは、数直線上で0からの距離を表すため、必ず0以上の値になります。
例えば、Aが3の場合は│A│＝3、Aが−3の場合も│A│＝3になります。このため、│A│は常に0以上という特徴があります。
一方、√BはBの平方根を表します。高校数学などで扱う√Bは基本的に0以上の値を意味するため、Bが0以上であることが前提になります。
│A│≦√Bを2乗して考える条件
不等式の両辺がともに0以上である場合、両辺を2乗しても大小関係は変わりません。
│A│は必ず0以上であり、√BもB≧0であれば0以上です。そのため、B≧0という条件のもとでは、
│A│≦√B
↓ 両辺を2乗
A²≦(√B)²
↓
A²≦B
という変形が成立します。
つまり、B≧0という条件がある場合には「│A│≦√B」と「A²≦B」は同値（⇔）として扱うことができます。
Bの条件を確認しないと危険な理由
重要なのは、√Bが存在するためにはB≧0でなければならないという点です。この条件が暗黙に含まれている場合は問題ありませんが、条件を無視すると誤った判断につながります。
例えば、A²≦Bという式だけを見ると、Bが負の場合は左辺が0以上なので成立しません。しかし、│A│≦√Bではそもそも√Bが定義できません。
そのため、単純に「両辺を2乗すればよい」と考えるのではなく、両辺が0以上であるかを確認することが大切です。
具体例で確認する│A│≦√BとA²≦Bの関係
例えば、A＝2、B＝9の場合を考えます。
│A│≦√Bは、│2│≦√9となるため、2≦3で正しいです。
また、A²≦Bでは、2²≦9、つまり4≦9となり、こちらも正しいです。このように、両方の式は同じ条件を表しています。
逆にA＝−2の場合でも、│−2│＝2なので同じ結果になります。絶対値があることで、Aの符号に関係なく平方した結果と対応します。
「⇔」で結ぶときに注意するポイント
数学で「⇔」を使う場合は、左右の式が完全に同じ条件を表している必要があります。
今回の場合、正確には「B≧0のもとで、│A│≦√B⇔A²≦B」と考えるのが安全です。
条件を書かずに使われる場合もありますが、平方根を含む問題では定義域を意識することが重要です。特に証明問題や記述式では、条件を明示するとより正確な解答になります。
まとめ：│A│≦√B⇔A²≦Bは条件付きで正しい
│A│≦√BとA²≦Bの関係は、B≧0という条件がある場合には正しい変形です。絶対値と平方根の両方が0以上になるため、両辺を2乗しても不等号の向きは変化しません。
ただし、数学では変形の前提条件を確認することが重要です。「両辺を2乗する」という操作はいつでも使えるわけではなく、0以上の数同士であることを確認してから行うようにしましょう。
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