平方根の計算では、√の中にある数を素因数分解し、同じ数のペアを見つけることで簡単な形に変形できます。しかし、√72のように素因数が多くなると、どの数を外に出せばよいのか迷ってしまうことがあります。
この記事では、√の中身を素因数分解するときの考え方や、素因数が多い場合でも迷わず計算する方法を、具体例を使って分かりやすく解説します。
√の中身を簡単にする基本的な考え方
√の中にある数は、同じ数が2つセットになると、√の外へ出すことができます。これは平方根の基本ルールです。
例えば、√20を考えると、20を素因数分解すると「2×2×5」となります。
この中で「2×2」は同じ数のペアなので、√の外に2として出せます。そのため、√20は「2√5」になります。
つまり、素因数分解した後は「同じ数字が2個ある組」を探すことがポイントになります。
√72を素因数分解して考える方法
√72の場合も、まず72を素因数分解します。
72を2で割ると36、さらに2で割ると18、さらに2で割ると9になります。そして9は3×3なので、
72＝2×2×2×3×3
となります。
ここでペアを探します。2×2が1組、3×3が1組あります。
つまり、
√72＝√(2×2×2×3×3)
＝2×3×√2
＝6√2
となります。
素因数が多いときは「ペア作り」だけを考える
素因数分解の数が多くなると混乱しやすくなりますが、すべてを一度に計算しようとする必要はありません。
例えば、√108なら、
108＝2×2×3×3×3
となります。
この場合も、2×2で1組、3×3で1組を作ります。残った3は√の中に残します。
そのため、
√108＝2×3√3＝6√3
になります。
大切なのは、素因数を並べた後に「2個セットになっているものを外へ出す」という作業だけです。
計算ミスを防ぐための整理方法
素因数が多い場合は、数字を横に並べるだけでは見落としやすくなります。そのため、同じ数字ごとにまとめると分かりやすくなります。
例えば√72なら、
72＝2×2×2×3×3
ではなく、
72＝(2×2)×2×(3×3)
のようにペアを囲むと、外に出せる数字がすぐ分かります。
また、素因数分解の途中で「平方数」を見つける方法もあります。72の場合は「36×2」と考えることもできます。
√72＝√(36×2)
＝√36×√2
＝6√2
となり、素因数をすべて書かなくても計算できます。
よく使う平方数を覚えるとルート計算が楽になる
平方根の計算では、平方数を覚えておくと処理が速くなります。
代表的な平方数には、
4＝2×2、9＝3×3、16＝4×4、25＝5×5、36＝6×6、49＝7×7
などがあります。
例えば√72なら、72の中に36が含まれていることに気づけば、
72＝36×2
としてすぐに6√2と求めることができます。
中学数学では、素因数分解だけでなく、このような平方数を利用した考え方も重要になります。
まとめ：√の計算はペアを見つけることがポイント
√の中身を素因数分解するときは、素因数が多くても焦る必要はありません。
計算の流れは、①√の中の数を素因数分解する、②同じ数字2個のペアを探す、③ペアは√の外へ出す、という3ステップです。
√72の場合は、72＝2×2×2×3×3なので、2×2と3×3を外に出して6√2になります。
素因数が増えても、やることは「平方数のペア探し」だけです。この考え方を身につければ、どんなルートの計算でも落ち着いて解けるようになります。
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