不等式を解くとき、「負の数をかけると不等号の向きが逆になる」というルールは知っていても、等号付きの不等式ではどうなるのか迷うことがあります。特に0≦-a/2≦1のような範囲を求める問題では、どの記号に変化が起こるのかを正しく理解することが重要です。この記事では、不等号の変化の仕組みと、この問題の解き方を分かりやすく解説します。
負の数をかけると不等号が逆になる理由
不等式では、両辺に同じ数をかけたり割ったりしても基本的には同じ関係を保てます。しかし、かける数や割る数が負の数の場合は注意が必要です。
例えば、3と5を比べると3＜5です。ここで両方に-1をかけると、-3と-5になります。数直線で見ると-5の方が左側にあるため、-3＞-5となり、不等号の向きが逆になります。
つまり、負の数をかけると大小関係が反転するため、不等号も反対向きに変える必要があります。
≦や≧の場合も不等号は逆向きになる
「＜」や「＞」だけでなく、「≦（小なりイコール）」や「≧（大なりイコール）」の場合も、負の数をかけると向きが逆になります。
例えば、2≦5という式に-1をかけると、-2と-5を比較することになります。この場合は-2≧-5となるため、「≦」は「≧」へ変化します。
ポイントは、等号の部分が消えたり、「＜」や「＞」だけになったりするわけではないということです。向きだけが反対になります。
0≦-a/2≦1を解く手順
今回の不等式は、0≦-a/2≦1という形です。この式は3つの部分がつながった連立不等式として考えます。
まず、分数をなくすために全体へ2をかけます。ただし、2は正の数なので不等号の向きは変わりません。
0×2≦(-a/2)×2≦1×2
となり、
0≦-a≦2
になります。
マイナスを消すときは不等号の向きに注意する
次に、-aのマイナスをなくすために両辺へ-1をかけます。このときは負の数をかけるため、不等号の向きを逆にします。
0≦-a≦2
に-1をかけると、
0≧a≧-2
になります。
これは通常の書き方に直すと、
-2≦a≦0
となります。
したがって、求めるaの範囲は「-2以上0以下」です。
よくある間違いと覚え方
よくある間違いは、「≦の場合は逆になるのか分からない」と考えてしまうことです。しかし、特別な決まりがあるわけではなく、「負の数をかけたら不等号の向きを逆にする」という1つのルールだけ覚えれば十分です。
例えば、≦は小さい側を示す記号ですが、負の数をかけると大小関係そのものが反転するため、≧になります。
また、等号部分はそのまま残ります。0≦aが負の数をかけたことで0≧-aになるように、イコールの意味は変わらず、向きだけが変わると考えると理解しやすくなります。
まとめ：負の数をかけたら≦も≧に変化する
不等式では、負の数をかけたり割ったりすると不等号の向きが逆になります。このルールは「＜」「＞」だけでなく、「≦」「≧」にも当てはまります。
0≦-a/2≦1では、まず正の数である2をかけて分数をなくし、その後に負の数である-1をかけてマイナスを消します。その際、不等号を逆向きにすることで、-2≦a≦0という答えが求められます。
不等式の計算では、かける数や割る数が正か負かを毎回確認する習慣をつけることが、ミスを防ぐポイントです。
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