二次不等式や判別式の問題では、式の形を変えたときに答えが変わったように見えて混乱することがあります。特に「マイナスを外に出しただけなのに、解の範囲が逆になるのはなぜ？」という疑問は、多くの高校生がつまずくポイントです。この記事では、-3a²-4a<0という式を例に、不等式変形の正しい考え方と、解が変わって見える理由をわかりやすく解説します。
まずは不等式の基本ルールを確認する
不等式では、両辺に同じ数をかけたり割ったりできます。ただし、負の数をかけたり割ったりするときだけ、不等号の向きが逆になります。
例えば、2<5という関係があります。両方に-1をかけると-2>-5になります。数字の大小関係が逆になるため、不等号も反対になるのです。
このルールを忘れると、今回のような問題で「同じ式なのに答えが違う」という状態が起こります。
-3a²-4a
まず式を因数分解します。
-3a²-4a<0
＝a(-3a-4)<0
ここで、積が0より小さいという条件になっています。つまり、2つの因数の符号が異なる場合を考えます。
a(-3a-4)<0では、aと-3a-4の符号が逆になる範囲を調べます。解の境界は、それぞれが0になるところです。
a=0
-3a-4=0よりa=-4/3
この2つの値を数直線に置いて符号を調べると、-4/3 次に、同じ式を別の形に変えてみます。 -3a²-4a＝-a(3a+4) したがって、 -a(3a+4)<0 となります。ここで、両辺に-1をかけるときに注意が必要です。 -a(3a+4)<0 となります。 マイナスをかけたため、不等号が「<」から「>」へ変わっています。この部分を忘れると間違った答えになります。 実は、2つの答えは違っていません。片方は「-a(3a+4)<0」をそのまま考え、もう片方は「a(3a+4)>0」に変形して考えています。 式の形が変わったことで、符号条件の見方が変わっただけです。 例えば、a(3a+4)>0では、2つの因数が同じ符号になる必要があります。 a=0、3a+4=0よりa=-4/3を境界として考えると、 a<-4/3 または 0 になります。 これは「-4/3 不等式の符号を考えるときは、頭の中だけで処理せず、数直線を書いて確認する方法がおすすめです。 今回の場合、境界は-4/3と0です。この2点で数直線を3つの区間に分け、それぞれの区間で式の符号を確認します。 例えばa=-2、a=-1、a=1などを代入すると、どの範囲で条件を満たすか簡単に確認できます。 符号表を使う習慣をつけると、二次不等式や判別式の問題でのミスを大きく減らせます。 -3a²-4a<0と-a(3a+4)<0は同じ式ですが、さらにa(3a+4)>0へ変形するときに不等号が逆になります。 そのため、見た目では答えが違うように感じますが、実際には同じ条件を表しています。重要なのは、負の数をかけたり割ったりしたときに不等号を反転させることです。 二次不等式では、式変形だけでなく符号の変化を意識し、数直線や符号表を使って確認することで正しい解答にたどり着けます。もう一つの変形-a(3a+4)
両辺に-1をかける
a(3a+4)>0なぜ同じ式なのに違う答えになるように見えるのか
数直線を書けば間違いを防げる
まとめ：マイナスをくくり出すときは不等号の変化に注意する
コメント