合成関数の定義域を考えるとき、「2つの関数の定義域の共通部分を取ればよいのか」と迷う人は多くいます。しかし、合成関数の定義域は単純な共通部分ではなく、内側の関数を代入した結果が外側の関数の定義域に入るかどうかまで考える必要があります。この記事では、合成関数の定義域を決める考え方を具体例を使って解説します。
合成関数とは何かを確認する
合成関数とは、2つの関数を組み合わせて、一方の関数の出力をもう一方の関数の入力として利用するものです。
例えば、関数f(x)とg(x)があるとき、f(g(x))は「まずg(x)を計算し、その結果をfに代入する」という意味になります。この場合、g(x)が内側の関数、f(x)が外側の関数です。
つまり、合成関数が成立するためには、単にg(x)が定義できればよいのではなく、g(x)の値がf(x)の入力として許される範囲に入っている必要があります。
合成関数の定義域は単純な共通部分ではない
合成関数の定義域を考える際に、「代入する関数の定義域」と「代入される関数の定義域」の共通部分を考えるだけでは不十分です。
例えば、f(x)=√x、g(x)=x-1の場合を考えます。f(g(x))は√(x-1)になります。
ここで、g(x)=x-1はすべての実数で定義できます。一方、f(x)=√xはx≧0の範囲でしか定義できません。そのため、g(x)の値が0以上になる必要があります。
x-1≧0なので、合成関数f(g(x))の定義域はx≧1になります。このように、外側の関数の条件を内側の関数に対して求めることが重要です。
合成関数の定義域を求める手順
合成関数の定義域を求める場合は、次の流れで考えると整理しやすくなります。
1. まず内側の関数が定義できる条件を確認する
g(x)の値が存在するために必要な条件を調べます。
2. 次に外側の関数に代入できる条件を考える
f(g(x))では、g(x)がfの定義域に入らなければなりません。
3. 最後に条件をまとめる
すべての条件を満たすxの範囲が合成関数の定義域になります。
具体例で合成関数の定義域を確認する
例えば、f(x)=1/√x、g(x)=x²-4の場合を考えます。
f(x)は分母に√xがあるため、x>0でなければなりません。そのため、f(g(x))を考える場合はg(x)>0が必要です。
x²-4>0を解くと、x<-2またはx>2となります。したがって、合成関数f(g(x))の定義域はこの範囲になります。
ここでも、fとgの定義域の共通部分を取ったわけではありません。g(x)によって作られる値がfの条件を満たすかどうかを確認しています。
合成関数の向きによって定義域は変わる
合成関数では、f(g(x))とg(f(x))は別の関数です。そのため、定義域も変わる場合があります。
例えば、f(x)=√x、g(x)=x²の場合、f(g(x))は√(x²)なので、すべての実数xで定義できます。
しかし、g(f(x))は(√x)²となるため、最初に√xを作る必要があり、x≧0という条件が必要になります。
このように、どちらの関数を先に適用するかによって、定義域を決める条件は変化します。
まとめ：合成関数の定義域は外側の関数への代入条件が重要
合成関数の定義域は、単純に2つの関数の定義域の共通部分を取るものではありません。
重要なのは、内側の関数で得られる値が外側の関数の定義域に入るかを確認することです。
「内側の関数を計算する」→「その結果を外側の関数に代入できる条件を求める」という流れを意識すれば、合成関数の定義域の問題は正しく解けるようになります。
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