重複組合せで「1つ以上選ぶ」ときに1つ配る理由とは？x−1になる仕組みをわかりやすく解説

重複組合せでは、「同じものを何個選んでもよい」という条件があるため、通常の組合せとは少し違った考え方を使います。特に「1つ以上選ぶ」という条件では、あらかじめ1つを配るという考え方が登場しますが、なぜ式ではx−1のような形になるのか疑問に感じる人も多いです。

この記事では、重複組合せにおける「1つ以上」の扱い方や、あらかじめ1つ配った後になぜ数が減るのかを、具体例を使って解説します。

重複組合せとは何か

重複組合せとは、同じ種類のものを何度選んでもよい場合の組合せの数を求める方法です。

例えば、3種類のお菓子A・B・Cから合計5個選ぶ場合を考えます。このとき、Aを5個選んでもよく、Aを2個、Bを2個、Cを1個というような選び方もできます。

このように同じ種類を複数回選べる場合、通常の組合せではなく重複組合せを利用します。

種類がn個あり、そこから合計r個を重複を許して選ぶ場合、重複組合せの公式は次のようになります。

nHr＝n+r−1Cr

または、nHr＝n+r−1Cn−1と表すこともできます。

この公式は「仕切りと玉」の考え方で説明できます。選ぶ個数を玉、種類の区切りを仕切りとして考えることで、組合せの問題に変換できます。

例えば、3種類のお菓子から合計5個選ぶが、「Aのお菓子は必ず1個以上選ぶ」という条件がある場合を考えます。

このとき、Aを最低1個選ぶことが決まっています。そのため、最初にAを1個確保してしまいます。

すると、残りの個数は5個−1個＝4個になります。この4個を、条件なしの重複組合せとして考えることができます。

「1つ配ったらx−1になるのでは？」という疑問は、実はその通りです。ただし、減る対象は全体の個数です。

例えば、合計x個選ぶ問題で、最初に1個を確保した場合、残りはx−1個になります。

つまり、式の中でx−1が出てくるのは、最初の1個をすでに使った後の残りの選択数を表しているためです。

例えば、3種類の果物から合計6個選び、そのうちリンゴを必ず2個以上選ぶ場合を考えます。

まずリンゴを2個確保します。この時点で条件は満たされるため、残りは6−2＝4個です。

あとはリンゴ・みかん・ぶどうの3種類から4個を自由に選ぶ重複組合せとして考えます。このように、条件付きの問題は「先に必要な分を取り除く」ことで通常の重複組合せに変換できます。

重複組合せは、玉と仕切りを並べる方法として考えると分かりやすくなります。

例えば、残りの個数がr個、種類がn種類の場合、r個の玉とn−1個の仕切りを並べることになります。

1つ以上という条件で先に玉を配置すると、使える玉の数が減るため、最終的な組合せの式にも影響します。

重複組合せで「1つ以上」という条件がある場合、最初に必要な分を確保する考え方を使います。

その結果、もともとの個数がx個なら、先に1個使った後の残りはx−1個になります。これは式を変形しているのではなく、実際に残った数を表しているだけです。

重複組合せでは、「条件を満たす分を先に配る」→「残りを自由に選ぶ」という流れを意識すると、公式の意味やx−1になる理由を自然に理解できます。