高校物理で学ぶ「斜面を滑る物体の仕事と位置エネルギー」では、摩擦のない斜面を物体が滑り落ちるときに「mgh＝1/2mv²」という式がよく登場します。しかし、重力は鉛直方向に働いているのに、物体は斜面に沿って動いているため、「なぜ高さhだけで仕事が決まるのか」と疑問に感じる人も少なくありません。
この記事では、仕事の定義である内積の考え方から、斜面方向で考えた場合との関係、さらに曲面上で運動方向が変化する場合でも重力の仕事が高さの差だけで決まる理由を詳しく解説します。
仕事とは力と移動方向の関係で決まる
物理における仕事は、単純に「力×距離」ではありません。正確には、力のベクトルと移動距離のベクトルの内積で表されます。
仕事Wは次の式で表されます。
W＝FΔxcosθ
ここでθは、力の向きと移動方向のなす角です。つまり、力と同じ方向に動いた成分だけが仕事に関係します。
例えば、重い荷物を水平に持って歩く場合、腕には上向きの力が働いていますが、荷物の移動方向は水平方向です。この場合、力と移動の角度は90度なので、cos90°＝0となり、物理的な仕事は0になります。
斜面でmghになる理由は重力の変位方向成分を見るため
斜面を滑る物体では、重力は鉛直下向きに働いています。一方、物体の移動方向は斜面に沿った方向です。そのため、「重力の大きさmgに斜面方向の距離を掛ける」という考え方だけでは不十分です。
しかし、仕事は内積で考えるため、重力方向への移動成分だけを取り出せばよいことになります。
高さhだけ下がったということは、物体は重力方向にhだけ移動したのと同じ意味になります。そのため、重力の仕事は
W＝mg×h＝mgh
となります。
つまり、「重力mgが斜面上をh進んだ」という意味ではありません。「重力の方向に対して、物体がhだけ移動した成分があるためmghになる」というのが正確な理解です。
斜面方向の成分で計算してもmghになる理由
斜面に沿った方向だけを使って考える方法も正しいです。斜面の角度をθとすると、重力の斜面方向成分は
mg sinθ
になります。
また、高さhだけ下がるために斜面上を移動する距離は
h／sinθ
です。
したがって斜面方向で仕事を計算すると、
W＝mg sinθ×h／sinθ
となり、sinθが打ち消されて
W＝mgh
になります。
これは、斜面方向の力だけを使って考えても、重力全体がした仕事と同じ結果になることを示しています。
曲面や半円レールでも重力の仕事は高さだけで決まる
斜面では移動方向が一定ですが、半円レールのような曲面では物体の進行方向が常に変化します。この場合でも、重力の仕事は始点と終点の高さの差だけで決まります。
その理由は、重力が保存力だからです。保存力とは、移動経路ではなく始点と終点だけで仕事が決まる力のことです。
重力による仕事は、
W＝mg(h₁−h₂)
のように高さの変化だけで求めることができます。
例えば、物体が斜面を下った後に曲線を描いて上向きに進み、最終的に少し高い位置まで移動した場合でも、最初と最後の高さだけを比較すれば重力の仕事は計算できます。
重力の仕事は速度の向きを決めるのではなく運動エネルギーを変化させる
運動エネルギーは速度の向きではなく、速度の大きさによって決まります。
運動エネルギーは
K＝1／2mv²
で表されます。
ここでvは速度ベクトルの大きさです。そのため、速度が上向きであっても、横向きであっても、速さが同じなら運動エネルギーは同じです。
重力の仕事は物体の速度の方向を直接決めるものではありません。重力がした仕事によって運動エネルギーがどれだけ増減したかが決まります。
これは仕事と運動エネルギーの関係
W＝ΔK
で表されます。
位置エネルギーと仕事の関係
位置エネルギーは、重力がする仕事を基準にして定義されています。
物体が高い場所にあるとき、重力によって取り出せる仕事の量を位置エネルギーとして蓄えていると考えます。
高さhの位置にある物体の重力による位置エネルギーは、
U＝mgh
です。
物体が落下すると位置エネルギーが減少し、その分だけ運動エネルギーが増加します。
mgh＝1／2mv²
という式は、「重力によって失われた位置エネルギーが、そのまま運動エネルギーになった」という意味なのです。
まとめ｜mghは重力方向の変位成分による仕事であり経路には依存しない
斜面を滑る物体でmghが登場する理由は、重力が斜面方向にhだけ移動させたからではありません。仕事が内積で決まり、重力方向への移動成分がhだからです。
斜面方向の重力成分mg sinθと斜面距離h／sinθを使って計算しても、結果は同じmghになります。
また、曲面や半円レールのように進行方向が変化する場合でも、重力は保存力なので仕事は始点と終点の高さの差だけで決まります。重力の仕事は速度の向きを決めるものではなく、運動エネルギーの変化量を決めるものと考えると、位置エネルギーと仕事の関係をより正確に理解できます。
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