グラフ理論では、すべての辺を1回ずつ通る閉路を持つグラフをオイラーグラフと呼びます。頂点数が7のオイラーグラフを考える場合、オイラーグラフになる条件を理解してから構成すると簡単に作成できます。
この記事では、頂点数7のオイラーグラフの具体例を示しながら、オイラーグラフの条件や確認方法について分かりやすく解説します。
オイラーグラフとは何か
オイラーグラフとは、グラフのすべての辺をちょうど1回ずつ通り、出発した頂点に戻る閉じた経路（オイラー閉路）を持つグラフのことです。
オイラーグラフになるためには、基本的に「グラフが連結していること」と「すべての頂点の次数が偶数であること」が必要です。
次数とは、ある頂点につながっている辺の数のことです。例えば、ある頂点に3本の辺が接続していれば、その頂点の次数は3になります。
頂点数7のオイラーグラフの具体例
頂点をA、B、C、D、E、F、Gの7個用意し、次のような輪の形のグラフを考えます。
図示すると以下のような構造になります。
A ― B ― C
│ │
G ― F ― E ― D
│
A
より単純な例として、7個の頂点を円形につないだグラフもオイラーグラフになります。
頂点をA、B、C、D、E、F、Gとして、辺を「A-B、B-C、C-D、D-E、E-F、F-G、G-A」と作ります。この場合、各頂点の次数はすべて2になります。
このグラフは、A→B→C→D→E→F→G→Aと進むことで、すべての辺を1回ずつ通って元の場所に戻ることができるため、オイラーグラフです。
なぜ円形のグラフはオイラーグラフになるのか
円形グラフでは、各頂点が隣り合う2つの頂点と接続しています。そのため、すべての頂点の次数は2になります。
次数2は偶数なので、オイラーグラフの条件である「すべての頂点の次数が偶数」を満たしています。
また、すべての頂点が辺によってつながっているため、グラフ全体も連結しています。この2つの条件を満たすため、円形のグラフはオイラーグラフになります。
オイラーグラフかどうかを確認する方法
与えられたグラフがオイラーグラフか調べる場合は、まず各頂点の次数を数えます。
すべての頂点の次数が偶数であれば、次にグラフが途中で分断されていないかを確認します。すべての頂点がつながっていれば、オイラーグラフである可能性があります。
例えば、7個の頂点を持つグラフでも、1つの頂点だけ次数が奇数の場合はオイラーグラフにはなりません。
頂点数7のオイラーグラフを作るポイント
頂点数が7の場合でも、特別な形にする必要はありません。重要なのは、7つの頂点すべての次数を偶数にすることです。
最も簡単な作り方は、7個の頂点を円状に配置して隣同士を結ぶ方法です。この場合、各頂点の次数が2となるため、必ずオイラーグラフになります。
グラフ理論の問題では、複雑な図を作るよりも、条件を満たすシンプルな構造を考えることが解答への近道になります。
まとめ：頂点数7のオイラーグラフは円形につないだグラフで作れる
頂点数7のオイラーグラフの例として、7つの頂点を円形につないだグラフが挙げられます。
このグラフでは、すべての頂点の次数が2で偶数となり、グラフも連結しているため、オイラーグラフの条件を満たします。
オイラーグラフを作る際は、「すべての頂点の次数を偶数にする」というポイントを意識すると、頂点数が変わっても簡単に構成できます。
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