三角関数の積分では、途中計算で出てくるマイナス符号が本当に正しいのか迷うことがあります。特に「−∫(sinx/cos²x)dx = −1/cosx + C」のような式では、左辺と右辺の符号が合っているのか疑問に感じやすい部分です。この記事では、この積分の考え方とマイナス符号が付く理由を分かりやすく解説します。
問題の積分式を確認する
今回確認する式は、次のような積分です。
−∫(sinx/cos²x)dx
この式では、分母にcos²xがあり、分子にsinxが含まれています。この形は、cosxの微分を利用すると簡単に解くことができます。
ポイントは、cosxを微分すると「−sinx」になることです。このマイナス符号が積分結果の符号に関係しています。
cosxの微分を利用して考える
まず、cosxの逆数である1/cosxを考えます。これはsecxとも表されます。
1/cosxを微分すると、次のようになります。
(1/cosx)’ = (cosx)⁻¹’ = −1×(cosx)⁻²×(−sinx)
計算すると、
(1/cosx)’ = sinx/cos²x
となります。
つまり、sinx/cos²xの積分は、1/cosxを微分したものなので、
∫(sinx/cos²x)dx = 1/cosx + C
となります。
先頭のマイナス符号を忘れないことが重要
ここで注意したいのが、問題には積分の前にマイナス符号が付いている点です。
つまり、求めるものは単純な積分ではなく、
−∫(sinx/cos²x)dx
です。
先ほど求めた結果にマイナスを掛けるため、
−(1/cosx + C)
となります。
積分定数Cは符号を含めて別の定数として扱えるため、最終的には、
−1/cosx + C
となります。
答えのマイナス符号は間違いではない
一見すると「∫(sinx/cos²x)dx」の答えが1/cosxなのに、なぜ−1/cosxになるのか不思議に感じます。しかし、これは積分の前についているマイナスを最後まで残して計算しているためです。
例えば、2×3=6ですが、−2×3の場合は−6になるのと同じで、積分の外側にある係数は最後まで計算結果に影響します。
今回の場合、積分そのものの答えが−1/cosxになるのではなく、「−」が積分全体に掛かっているため結果としてマイナスが付いています。
微分して確認すると符号が分かる
積分結果が正しいか迷った場合は、答えを微分して元の式になるか確認する方法が有効です。
−1/cosxを微分すると、
−(1/cosx)’ = −sinx/cos²x
となります。
これは、マイナスを含めた元の積分対象と一致します。そのため、答えの「−1/cosx + C」は正しいことが分かります。
まとめ：マイナス符号は積分の外側にあるため残る
「−∫(sinx/cos²x)dx = −1/cosx + C」のマイナス符号は間違いではありません。
sinx/cos²xの積分自体は1/cosx+Cですが、積分の前に付いている−が最後まで掛かるため、答えには−1/cosxが残ります。
三角関数の積分では、微分して元の式に戻るか確認すると、符号のミスを防ぐことができます。
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