境界値問題 y''−y=e^x をGreen関数で解く方法｜基本構造と計算手順を丁寧に解説

微分方程式の境界値問題は、通常の初期値問題とは異なり、解の構成にGreen関数を用いることで体系的に解くことができます。本記事では、y”−y=e^x（0≤x≤1, y(0)=y(1)=0）という典型的な問題を通して、Green関数の基本的な使い方を整理します。

問題の構造と演算子の確認

与えられた微分方程式は y”−y=e^x です。

これは線形微分演算子 L[y]=y”−y として表すことができます。

境界条件 y(0)=y(1)=0 があるため、固有値問題型の境界値問題となります。

Green関数とは、L[G(x,ξ)] = δ(x−ξ) を満たす特別な関数です。

これを用いることで、解は f(x)=e^x に対する積分表現として書けます。

つまり y(x)=∫₀¹ G(x,ξ)e^ξ dξ の形に変換されます。

まず同次方程式 y”−y=0 を解くと、基本解は e^x と e^{-x} です。

この2つを使ってGreen関数を区間ごとに構成します。

境界条件を満たすように定数を調整することが重要です。

G(x,ξ)は x<ξ と x>ξ で別々の式を持つ区分関数になります。

境界条件 G(0,ξ)=G(1,ξ)=0 を満たすように係数を決定します。

さらに x=ξ での連続性と微分の跳び条件を用います。

Green関数が求まれば解は積分で表されます。

y(x)=∫₀¹ G(x,ξ)e^ξ dξ によって一意に解が決定されます。

この形にすることで、境界値問題が積分問題へと変換されます。

実際の試験ではGreen関数をすべて厳密に導くよりも、構造を正しく作れるかが重要です。

特に「同次解」「境界条件」「連続条件」「跳び条件」の4点セットが鍵になります。

この流れを押さえることで他の境界値問題にも応用可能になります。

Green関数を用いる境界値問題は、微分方程式を積分表現に変換する手法です。

同次方程式の解と境界条件からGreen関数を構成し、積分で解を得る流れが基本となります。

今回の問題もこの枠組みに当てはめることで体系的に処理できます。