数列の問題では、等差数列・等比数列・数学的帰納法がまとめて出題されることがあり、どこから手をつければよいか迷いやすい分野です。本記事では、できるだけシンプルな数値を使いながら、それぞれの問題の解き方と考え方を整理して解説します。
① 第5項までの和が100になる等差数列の作り方
等差数列は「一定の差」で増減する数列です。初項をa、公差をdとすると、和は公式で求められます。
S5 = 5/2 × (2a + 4d) = 100
これを整理すると 2a + 4d = 40 → a + 2d = 20 となります。
初項が10未満なので、整数解を探します。
例① a=8 のとき → 8 + 2d = 20 → d=6
数列：8, 14, 20, 26, 32
例② a=6 のとき → 6 + 2d = 20 → d=7
数列：6, 13, 20, 27, 34
② 第4項が64になる等比数列
等比数列は一定の比（公比r）で増える数列です。
第4項は a × r^3 = 64 です。
簡単な例として r=2 とすると
a × 8 = 64 → a=8
数列：8, 16, 32, 64
別の例として r=4 とすると
a × 64 = 64 → a=1
数列：1, 4, 16, 64
③ 貯金の数列（等差数列の一般項と和）
4月が1000円で、毎月500円ずつ増えるので等差数列です。
一般項は an = 1000 + (n-1)×500
整理すると an = 500n + 500
12ヶ月の和は
S12 = 12/2 × (1000 + 6500) = 6 × 7500 = 45000円
④ フォロワー増加（等比数列）
初期100人で毎日1.2倍なので等比数列です。
一般項は an = 100 × (1.2)^(n-1)
100日目：a100 = 100 × (1.2)^99（非常に大きな値）
200日目：a200 = 100 × (1.2)^199
このモデルは現実では無限増加を仮定しているため実際には成立しません。
⑤ 数学的帰納法の例題
例1（等式）：1 + 2 + … + n = n(n+1)/2
例2（不等式）：2^n ≥ n+1
例3（倍数）：3^n − 1 は 2 の倍数
どれも「n=1で成立 → n=kで仮定 → n=k+1で証明」の流れで示します。
まとめ
数列の問題は「規則性を見つけること」と「公式に当てはめること」が基本です。
等差は差、等比は比というシンプルな構造を意識すると整理しやすくなります。
帰納法は“すべての自然数に対して成り立つことを証明する方法”として重要です。
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