直角三角形の内接円の半径rを求める問題は、中学数学の中でも図形と面積の関係を正しく理解しているかが問われる典型問題です。本記事では、内接円の基本公式を使いながら、rの求め方を整理して解説します。
直角三角形の内接円とは何か
内接円とは、三角形の3辺すべてに接するように内側に描かれる円のことです。
直角三角形でも同様に、3辺すべてに接する円が一つだけ存在します。
この円の半径をrとし、問題で求める対象になります。
内接円の基本公式
三角形の内接円の半径rは次の公式で表されます。
r = 面積 ÷ 半周長（s）
ここで半周長sは、三角形の周の長さを2で割ったものです。
直角三角形における面積と半周長
直角三角形では、2辺をa・b、斜辺をcとすると面積は (a×b)÷2 です。
半周長は (a + b + c) ÷ 2 で求めます。
この2つを内接円の公式に代入することでrを求めます。
内接円半径rの導出方法
公式 r = 面積 ÷ s にそれぞれ代入すると次の形になります。
r = ((a×b)/2) ÷ ((a + b + c)/2)
分母と分子の2を整理すると r = (a×b) ÷ (a + b + c) となります。
別の覚え方（直角三角形専用公式）
直角三角形では次の形でも覚えられます。
r = (a + b – c) ÷ 2
これは一般公式から変形して導かれるため、中学範囲でも十分理解可能です。
まとめ
直角三角形の内接円の半径rは、面積と半周長の関係から求めることができます。
基本は r = 面積 ÷ s を使い、直角三角形では計算を整理するとシンプルな形にできます。
公式の意味を理解しておくと、応用問題にも対応しやすくなります。
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