中学数学では「2けたの自然数」と「その数の位を入れ替えた数」を使った計算問題がよく出題されます。本記事では、2乗の差が与えられたときに元の数を求める考え方を、式の立て方から丁寧に整理して解説します。
問題の構造を整理する
まず、2けたの自然数を10の位をa、一の位をbとして表します。
このとき元の数は10a + b、位を入れ替えた数は10b + aになります。
問題の本質は、この2つの数の2乗の差を式で表すことです。
式を立てる
与えられた条件より、(10a + b)^2 − (10b + a)^2 = 1287となります。
この式を展開することで、aとbの関係式を導きます。
展開後は整理して因数分解することで計算を簡単にできます。
展開と整理の手順
(10a + b)^2 = 100a^2 + 20ab + b^2、(10b + a)^2 = 100b^2 + 20ab + a^2です。
差をとると、99a^2 − 99b^2となり、99(a^2 − b^2)に整理できます。
さらに(a^2 − b^2) = (a − b)(a + b)として因数分解できます。
数値条件の導出
99(a − b)(a + b) = 1287より、両辺を99で割ると13 = (a − b)(a + b)となります。
13は素数なので、(a − b, a + b) = (1, 13)と考えられます。
これを連立して解くとa = 7、b = 6が得られます。
答えの確認
求めた数字は10a + bなので、10×7 + 6 = 76となります。
逆に入れ替えた数は67となり、条件を満たすことが確認できます。
計算ミスを防ぐために最後に必ず検算することが重要です。
まとめ
この問題は、2けたの数を文字で表し、2乗差を因数分解することで解く典型問題です。
ポイントは、(10a + b)と(10b + a)を正しく式化し、差を整理することです。
文字式の操作と因数分解の理解が解答の鍵となります。
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