二次曲面 x²/a² + y²/b² + z²/c²=1 の全微分 d²z の求め方をわかりやすく解説

多変数関数の微分では、式変形だけでなく「どの変数を独立変数として扱うか」によって計算方法が変わります。本記事では、楕円体の方程式 x²/a² + y²/b² + z²/c²=1 において、xとyを独立変数としたときの全微分（二階微分 d²z）を求める考え方を整理して解説します。

問題設定と考え方の整理

与えられた式は三変数関数の制約式であり、zはxとyの関数として扱われます。

つまり z = z(x, y) とみなし、暗黙関数として微分を行うことになります。

このような場合、陰関数微分を用いて一次微分・二次微分を順に求めていきます。

両辺をxとyで全微分すると次のようになります。

(2x/a²)dx + (2y/b²)dy + (2z/c²)dz = 0

これをdzについて整理すると、dzはxとyの微分で表される形になります。

二階微分を求めるためには、まず一次微分の関係式が必要になります。

なぜなら dz を x, y の関数として扱い、その変化率をさらに微分する必要があるためです。

この段階での整理が後の計算の難易度を大きく左右します。

二階微分は d(dz) として定義され、一次微分式をさらに微分して求めます。

計算では dx², dy², dxdy といった項が現れ、それぞれの係数を整理していきます。

結果として、曲面の局所的な曲率構造を表す式になります。

zを明示的に解かずに微分するため、常にzもx,yの関数として扱う必要があります。

また、微分後も元の関係式 x²/a² + y²/b² + z²/c²=1 を用いて整理することが重要です。

途中で独立変数の扱いを誤ると結果が大きくずれるため注意が必要です。

本問題は陰関数としてzを扱い、まず一次微分を求めた上で、それをさらに微分することで二階微分を導く構造になっています。

特に重要なのは、zを常にxとyの関数として扱うという前提を崩さないことです。

この考え方を理解すると、他の二次曲面や多変数関数の微分問題にも応用できるようになります。