2次元の不等式の図示では、直線で平面を分けて領域を考える問題がよく出題されます。本記事では「(x+2y-2)(2x-y+2)≧0」と「x+2y-2≠0」を例に、図示の考え方とコツを整理して解説します。
まずは境界となる直線を分解する
この種の問題では、まずそれぞれの因数を0とおいた直線を求めます。
x+2y-2=0 → 直線①
2x-y+2=0 → 直線②
この2本の直線が平面を4つの領域に分ける「境界線」となります。
不等式の意味は「符号の一致」
(x+2y-2)(2x-y+2)≧0 は、2つの式の積が0以上という意味です。
つまり「両方が正」または「両方が負」の領域を探す問題になります。
一方が正で他方が負だと積は負になるため、その領域は除外されます。
領域を分けて符号をチェックする方法
図示の基本手順は次の通りです。
① 2本の直線を描く
② 交点を中心に4領域に分ける
③ それぞれの領域にテスト点を入れる
例えば(0,0)などを代入して符号を確認すると、どの領域が条件を満たすか判断できます。
x y≧0型との違いと共通点
xy≧0は「第1象限と第3象限」という対角的な領域でした。
今回の問題も「同符号の領域を選ぶ」という点では同じ構造です。
ただし今回は直線が斜めになるため、象限ではなく“直線で切られた領域”として考える必要があります。
図示のコツ：符号パターンで覚える
このタイプの問題は図形というより「符号の組み合わせ問題」として捉えるのがコツです。
各領域で「＋＋」「−−」「＋−」「−＋」の4パターンが生まれると理解すると整理しやすくなります。
特にテストでは図を正確に描くより、符号の流れで判断する方が速い場合があります。
まとめ
積が0以上の不等式は、境界となる直線を引き、符号が同じ領域を選ぶ問題です。
xy≧0のような象限問題と本質は同じですが、直線が傾くことで領域分割として扱う点が異なります。
符号パターンを意識して整理すれば、図示は安定して解けるようになります。
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