二次関数の変域問題は、グラフの形と区間の端点を正しく理解することが重要です。本記事では「y=-2x²、-2≦x≦aのときyの変域が-18≦y≦bとなるときのa,bの求め方」について、考え方を順を追って解説します。
まず関数の基本構造を確認する
関数y=-2x²は下に開く放物線で、頂点は(0,0)です。
このため最大値はx=0のときの0となり、そこから下に広がっていきます。
変域を考えるときは「どこが最大・最小になるか」が重要になります。
xの範囲とグラフの関係を整理する
今回のxの範囲は-2≦x≦aです。
まずx=-2のときの値はy=-2×(-2)²=-8となります。
またx=aのときはy=-2a²となり、これがもう一つの端点になります。
最小値-18からaを決定する
変域の最小値が-18であることから、どこかでy=-18になる必要があります。
y=-2x²に代入すると -18=-2a² となります。
これを解くと a²=9、つまりa=±3となります。
範囲条件からaの正しい値を選ぶ
xの範囲が-2≦x≦aなので、aは-2より大きい必要があります。
したがってa=3が適切な解となります。
この条件判断が重要なポイントです。
最大値bの求め方
最大値は頂点x=0での値となるためy=0です。
したがって変域の上限bは0になります。
よって変域は-18≦y≦0となります。
よくあるつまずきポイント
よくあるミスは「端点だけを見て判断してしまうこと」です。
二次関数では頂点が最大・最小に関わるため、必ず確認が必要です。
また、xの範囲条件を後から必ずチェックすることも重要です。
まとめ
この問題は、二次関数のグラフとxの範囲を組み合わせて考える典型問題です。
最小値からaを求め、頂点からbを決定する流れを押さえることがポイントです。
条件整理とグラフの性質を結びつけることで、同様の問題にも対応できます。
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