2変数関数の方向微分は、偏微分とベクトルの考え方を組み合わせて理解すると整理しやすくなります。本記事では、関数f(x,y)=x^(1/3)y^(2/3)について、α方向の微分係数を求める考え方を順序立てて解説します。
方向微分の基本定義
方向微分とは、ある点において特定の方向にどれだけ関数値が変化するかを表す量です。
単位ベクトルをu=(cosα, sinα)とすると、方向微分係数は勾配ベクトルとの内積で表されます。
D_u f(x,y)=∇f(x,y)・u という形になります。
関数 f(x,y)=x^(1/3)y^(2/3) の偏微分
まず勾配ベクトルを求めるために偏微分を計算します。
∂f/∂x = (1/3)x^(-2/3)y^(2/3)
∂f/∂y = (2/3)x^(1/3)y^(-1/3)
したがって勾配ベクトルは∇f(x,y)=((1/3)x^(-2/3)y^(2/3), (2/3)x^(1/3)y^(-1/3))となります。
α方向微分係数の一般形
方向ベクトルu=(cosα, sinα)を用いると、方向微分は次のように表されます。
D_α f(x,y)=∂f/∂x cosα + ∂f/∂y sinα
これは勾配ベクトルと単位方向ベクトルの内積そのものです。
関数に代入した具体形
先ほどの偏微分結果を代入すると以下の形になります。
D_α f(x,y)= (1/3)x^(-2/3)y^(2/3) cosα + (2/3)x^(1/3)y^(-1/3) sinα
この式が一般点(x,y)におけるα方向の微分係数です。
考え方のポイント
方向微分は「その方向にどれだけ増えるか」を見る操作であり、偏微分をそのまま方向に射影していると考えると理解しやすくなります。
また、勾配ベクトルは関数の最大増加方向を示すため、方向微分はその“影”と考えることができます。
まとめ
方向微分は偏微分と三角関数の組み合わせではなく、勾配ベクトルと単位方向ベクトルの内積として統一的に扱えます。
今回の関数では、各偏微分を求めてcosα・sinαに重み付けすることで解答が得られます。
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