陰関数として定義されたZ(x,y)が x+y+Z=f(x^2+y^2+Z^2) を満たすときに成り立つ偏微分の関係式は、連鎖律と対称性をうまく使うことで整理できます。本記事では、この種の陰関数の微分計算において、式変形がどのように進むのかを段階的に確認します。
陰関数としての構造を整理する
まず Z は x と y の関数として暗黙的に定義されているため、Z=Z(x,y) として扱います。
与えられた関係式 x+y+Z=f(x^2+y^2+Z^2) は、両辺が同じ変数系に依存するため、微分は連鎖律を用いて行います。
このタイプの問題では「どこまでが直接変数で、どこからがZを通じた間接変数か」を分離することが重要です。
xで偏微分したときの処理
xで偏微分すると、左辺は 1 + Zx になります。
右辺は f’(x^2+y^2+Z^2) × (2x + 2Z Zx) となり、Zを含む項が連鎖律で現れます。
この段階で Zx を含む項を整理し、後の式変形のためにまとめます。
yで偏微分したときの処理
同様にyで偏微分すると、左辺は 1 + Zy になります。
右辺は f’(x^2+y^2+Z^2) × (2y + 2Z Zy) となります。
xの場合と同様に、Zy を含む項を整理し、対称構造を意識します。
f’を消去するための操作
両式に共通する f’(x^2+y^2+Z^2) を消去することが核心部分です。
それぞれの式を変形して f’ を解き、等式として一致させることで Zx と Zy の関係式を構築します。
この操作により、関数fの具体形に依存しない関係式が導かれます。
対称性を利用した整理
xとyの役割が対称であることから、(y−Z)Zx と (Z−x)Zy を組み合わせると簡潔な形にまとまります。
このとき中間変数 f’ が完全に消え、純粋に x,y,Z の関係だけが残ります。
結果として (y−Z)Zx + (Z−x)Zy = x−y が得られます。
まとめ
陰関数の微分では、連鎖律で生じる中間項をいかに整理するかが重要になります。
今回のように f を含む形でも、対称性と消去操作によって f’ を排除できます。
その結果、Zx と Zy の間に f に依存しない関係式が成立することが確認できます。
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