極座標変換を用いて関数の二階偏微分（Uxx+Uyy）を求める問題は、多変数解析における重要な基本テーマです。特にラプラシアンを極座標で扱う際には、公式の意味を理解したうえで丁寧に計算することが求められます。本記事では、与えられた2つの関数について考え方を整理します。
まずラプラシアンUxx+Uyyの意味を整理する
Uxx+Uyyは2次元におけるラプラシアンと呼ばれる演算です。
これは関数の「曲がり具合」や「拡散の性質」を表す重要な量です。
直交座標(x,y)ではUxxとUyyをそれぞれ計算し足し合わせます。
極座標変換の基本（r, θの定義）
問題では r = √(x^2 + y^2)、tanθ = y/x が与えられています。
これは極座標変換であり、x = r cosθ、y = r sinθ と表せます。
この変換を用いることで、複雑な微分が整理しやすくなります。
極座標におけるラプラシアンの公式
極座標ではラプラシアンは次の形に変換されます。
Uxx + Uyy = Urr + (1/r)Ur + (1/r^2)Uθθ
この公式を使うことで、直接x,yで微分する必要がなくなります。
（1）U = r^2 sin(3θ) + θ log r の場合
まず各項をrとθで微分していきます。
rに関する項とθに関する項を分離して計算することがポイントです。
sin(3θ)はθ微分で係数3が出る点に注意します。
（2）U = e^(αθ) cos(α log r) の場合
この関数はθとlog rが絡む複合型です。
log r を変数とみなして微分すると計算が整理されます。
指数関数と三角関数の積なので、連鎖律を丁寧に適用します。
計算の共通ポイント
どちらの問題も「極座標ラプラシアン公式を使うこと」が核心です。
直接x,yで計算すると非常に複雑になるため変換が必須です。
またrとθを独立変数として扱うことが重要です。
まとめ
Uxx+Uyyは極座標変換を用いることで大幅に計算が簡単になります。
公式 Urr + (1/r)Ur + (1/r^2)Uθθ を使うことが最大のポイントです。
今回のような関数は「極座標での微分処理に慣れること」が理解の鍵となります。
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