中学・高校数学の平方根と整数条件の解き方｜√を含む式の考え方を徹底解説

平方根を含む式で「偶数になる条件」や「整数になる条件」を問う問題は、見た目よりも整理の仕方が重要です。本記事では、代表的な2つの問題を通して、√を含む式の考え方と解き方の基本をわかりやすく解説します。

問題① √300 − 3n が偶数になるnの考え方

まずは式の構造を整理することが重要です。

√300は約17.32なので、そのまま整数にはなりませんが、実際には因数分解して考えます。

√300 = √(100×3) = 10√3 となるため、式は「10√3 − 3n」と整理できます。

ここでのポイントは「偶数＝2の倍数」という定義です。

しかし√3が含まれるため、nの値で打ち消せる形である必要があります。

実際には整数条件を満たすように式を変形して考えることが重要です。

次に、平方根の中が重要なポイントになります。

√(40n/3) が整数になるには、(40n/3) が完全平方数である必要があります。

つまり「分母を消しつつ平方数にする」ことが鍵になります。

まず分母をなくすために n を工夫します。

40n/3 が整数になるためには n は3の倍数である必要があります。

その上で40nが完全平方数になる最小のnを探します。

40 = 2^3 × 5 なので、平方数にするには偶数乗にそろえる必要があります。

不足している因子2と5を補うようにnを決めます。

最小のnを構成することで、条件を満たす答えが得られます。

平方根の問題は「そのまま計算する」のではなく「因数分解して形を整える」ことが重要です。

偶数条件や整数条件は、すべて“2乗の形”や“倍数条件”に帰着して考えると整理しやすくなります。

式の構造を分解して考えることが、最短で解答にたどり着くポイントです。