lim_{λ→∞}∫₀^∞ sin(x²)tan⁻¹(λx)dxの極限計算｜収束と極限交換の考え方を丁寧に解説

このタイプの積分と極限が絡む問題は、解析学の中でも「どこから手を付ければよいのか」が分かりにくい典型例です。本記事では、与えられた極限積分の構造を整理しながら、計算の考え方を段階的に解説します。

問題の構造を整理する

与えられた式は「λ→∞の極限」と「0から∞までの広義積分」が組み合わさった形になっています。

さらに被積分関数には sin(x²) と arctan(λx) が含まれており、振動と単調収束が混ざった構造です。

このような場合、まず積分と極限の関係を慎重に考える必要があります。

λ→∞のとき、x>0では arctan(λx) は π/2 に収束します。

一方で x=0では常に 0 であり、点によって極限値が異なります。

したがって、この関数は「ほぼ定数 π/2 に近づくが原点だけ例外」という構造になります。

この問題の本質は、極限と積分を交換できるかどうかにあります。

もし支配収束定理などが適用できれば、極限を積分の中に入れることが可能になります。

ここでは |sin(x²)| が有界であることが重要な役割を持ちます。

arctan(λx) → π/2 を用いると、形式的には次の形に帰着します。

∫₀^∞ sin(x²)·(π/2) dx

つまり問題はフレネル型積分に帰着します。

∫₀^∞ sin(x²) dx は収束し、その値は既知の定数として扱われます。

したがって元の極限は、その定数に π/2 を掛けた形に整理されます。

振動積分の収束性がこの問題の核心部分です。

この問題は単なる計算ではなく、極限と積分の交換、そして振動積分の収束性がポイントになります。

arctan(λx) の極限挙動を正しく捉えることで、積分全体の構造が見えるようになります。

結果としてフレネル積分に帰着する形で評価できるタイプの問題です。