ベクトルの存在範囲問題の考え方｜s,tの条件変形でなぜ0を含むように見えるのかを解説

ベクトルの存在範囲問題では、パラメータs,tの条件を整理する過程で「なぜ0を含むのか」「割り算すると条件が変わるのか」といった疑問が生じやすくなります。本記事では、三角形OABにおけるOP=sOA+tOBの問題を題材に、条件変形の意味をわかりやすく解説します。

問題の本質：存在範囲は「s,tの領域」で決まる

今回の問題では、点PはOP=sOA+tOBで表され、s≧0、t≧0、3s+t≦1という条件のもとで動きます。

つまりPの存在範囲は「(s,t)の動ける領域」によって決まります。

この領域を図形的に捉えることが重要な出発点です。

3s+t=kとおくと、条件は0≦k≦1となります。

これは「制約の強さ」を1つのパラメータkにまとめる操作です。

ただしこの段階ではs,tの非負条件はまだ失われていません。

ここで重要なのは、k>0の範囲で割り算をしているため、符号の向きは変わらないという点です。

したがって不等式の性質はそのまま維持されます。

3s/kやt/kに変形すると、見かけ上0が復活したように感じるのは「正規化」の結果です。

実際にはs≧0、t≧0なので、k>0で割ってもそれぞれは常に非負になります。

つまり0が新しく出てきたのではなく、元からの条件がそのままスケールされた形です。

3s/k + t/k = 1は「重み付き平均」の形を意味します。

これは点Pが線分や領域内でどのように分布するかを示す比の表現です。

ベクトル問題ではこの形に変換することで、図形的理解がしやすくなります。

今回の変形で重要なのは、kで割る操作は単なる正規化であり条件を変えていないという点です。

s,tの非負条件はそのまま維持されており、0が新しく導入されたわけではありません。

ベクトルの存在範囲問題では、代数操作よりも「領域の意味」を意識することが理解の鍵になります。