微分方程式 y''-5y'+6y=0 の解集合が線形空間であることの証明｜解かずに示す方法を解説

微分方程式の解集合が線形空間になるかどうかを示す問題は、解を実際に求めずに「構造」だけで証明する典型的な線形代数・微分方程式の融合問題です。本記事では y”-5y’+6y=0 の解集合Vについて、その性質を用いて線形空間であることを示す考え方を整理します。

① 問題設定と解集合Vの意味

与えられた微分方程式 y”-5y’+6y=0 は2階線形同次微分方程式です。

この方程式の解全体をVとすると、Vは関数の集合になります。

ここで重要なのは「関数空間の部分集合としてVが線形空間になるか」という視点です。

集合Vが線形空間であるためには以下を示せば十分です。

・零関数が含まれる

・加法について閉じている

・スカラー倍について閉じている

y(x)=0を代入すると、y”=0、y’=0より左辺はすべて0になります。

したがって零関数は確かに解であり、Vに含まれます。

fとgを方程式の解とします。

微分の線形性より (f+g)”-5(f+g)’+6(f+g) は各項がそれぞれの方程式を満たすため0になります。

同様に、任意のスカラーcについて c f も同様に方程式を満たします。

この微分方程式は「線形同次」であることが重要です。

線形作用素 L(y)=y”-5y’+6y とおくと、Lは加法とスカラー倍に関して線形です。

したがって解集合Vは L(y)=0 の核（kernel）として表されます。

微分方程式の解集合Vが線形空間である理由は、解を具体的に解かなくても「線形同次性」によって保証されます。

特に加法とスカラー倍に対する閉性は微分作用素の線形性から直接従います。

この視点を押さえることで、他の線形微分方程式にも同様の議論が適用できます。