3つの実数x, y, zについて「xy + yz + zx < 0」という条件が与えられたとき、それだけでx, y, zが異符号になるのかどうか迷うことがあります。一見すると符号がバラバラでないと負にならなさそうにも思えますが、実際にはこの不等式から単純に異符号とは言い切れません。
xy+yz+zxの意味を整理する
まずxy + yz + zxという式は、3つの数の“ペアごとの積の合計”を表しています。
この値は、それぞれの符号や大きさの組み合わせによって正にも負にもなります。
例えば、すべて正の数なら当然すべての積が正になるため、全体も正になります。
「異符号なら必ず負になるのか」
結論からいうと、x, y, zが異符号だからといってxy + yz + zxが必ず負になるわけではありません。
例えば x=2, y=-1, z=0 の場合、xy + yz + zx = -2 + 0 + 0 = -2 となり負になりますが、常にこうなるとは限りません。
また x=10, y=-1, z=0.1 のような場合でも値は変わり、符号だけでは一意に決まりません。
反例からわかる重要ポイント
「xy+yz+zx<0なら異符号」という命題を否定するには反例が重要です。
例えば x=1, y=-2, z=3 の場合、xy+yz+zx = -2 -6 +3 = -5 で負ですが、3つすべてが異符号とは限らず、単に組み合わせ次第で負になることがわかります。
つまり、この不等式は符号の条件を一意に決めるものではありません。
対称式としての見方
xy+yz+zxは対称式であり、3変数のバランスを反映する式です。
特定の1つの変数だけでなく、全体の関係性で値が決まるため、符号だけではなく大きさの影響も強く受けます。
そのため「符号条件＝結果」と単純化するのは危険です。
まとめ
xy+yz+zx<0という条件だけでは、x, y, zが異符号であるとは断定できません。
この不等式は符号だけでなく、数の大きさのバランスによっても大きく変化します。
数学では条件から結論を急ぐのではなく、反例や構造を確認することが重要になります。
コメント