円錐の体積に関する問題では、半径や高さが変化したときに体積がどのように変わるのかを「比例関係」で整理することが重要です。本記事では、半径を1/6倍、高さを12倍にした場合の体積変化を分かりやすく解説します。
円錐の体積の基本公式
円錐の体積は「V = (1/3)πr²h」で表されます。
ここでrは底面の半径、hは高さです。
体積は半径の2乗と高さに比例する点が重要です。
変化後の半径と高さの整理
問題では半径が1/6倍、高さが12倍になります。
つまり新しい半径は r → r/6、新しい高さは h → 12h です。
この変化を公式にそのまま代入して考えます。
体積比を式で計算する
変化後の体積は V’ = (1/3)π(r/6)²(12h) となります。
(r/6)²は r²/36 なので、式は V’ = (1/3)πr²h × (12/36) に整理できます。
これにより体積比は 12/36 = 1/3 となります。
なぜこのような結果になるのか
半径は2乗で効くため、1/6倍にすると体積は1/36倍になります。
一方で高さが12倍になることでその分が補正されます。
結果として全体では1/3倍になります。
別の見方（比例関係）
円錐の体積は「半径² × 高さ」に比例します。
したがって変化倍率は (1/6)² × 12 = 1/36 × 12 です。
これを計算するとやはり1/3になります。
まとめ
円錐の体積は半径の2乗と高さに比例します。
半径を1/6倍、高さを12倍にすると体積は1/3倍になります。
公式をそのまま倍率計算に置き換えると、効率よく解くことができます。
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