二次関数の頂点がどのように決まるのかは、平方完成を学び始めた高校生がつまずきやすいポイントのひとつです。特に「なぜx座標が-1になるのか」が直感的に理解しにくいことがあります。本記事では、y=x²+2x+3を例にして頂点の求め方とその意味をわかりやすく整理します。
平方完成の基本形を確認する
二次関数y=ax²+bx+cは、平方完成することで頂点の位置が分かります。
基本的には「(x+p)²+q」の形に変形することで、頂点が(-p, q)であることが読み取れます。
この形にすることが、頂点を求める本質的な手順です。
y=x²+2x+3を平方完成する手順
まずx²+2xの部分に注目します。
x²+2xは(x+1)²−1と変形できるため、元の式は(x+1)²−1+3となります。
整理すると(x+1)²+2となり、これが平方完成の結果です。
なぜx座標が-1になるのか
(x+1)²の形は「xに+1すると0になる点」を中心にしています。
つまりx+1=0となるとき、xは-1になります。
このx=-1が放物線の最も低い（または高い）位置、つまり頂点のx座標です。
頂点のy座標が2になる理由
平方完成後の式は(x+1)²+2なので、最小値は(x+1)²が0のときです。
x=-1を代入すると0+2となり、y=2になります。
したがって頂点は(-1,2)となります。
グラフ的なイメージで理解する
二次関数のグラフは左右対称の放物線です。
頂点はその対称の中心にあり、(x+1)の「-1」がその中心位置を示しています。
式の形を見るだけで頂点の位置が分かるのが平方完成の強みです。
まとめ
y=x²+2x+3の平方完成では(x+1)²+2となり、x=-1のときに最小値をとります。
このため頂点は(-1,2)となり、x座標は(x+1)=0から導かれます。
平方完成は頂点を直感的に理解するための重要な手法です。
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