x+y一定でxyはどう最小化される？不等式の本質と端点条件の証明解説

条件付きで2変数の積の最小値を考える問題は、数学の不等式や最適化の基本的な考え方を理解するうえで重要なテーマです。本記事では、x+yが一定のもとでxyがどのように変化し、なぜ端点で最小値をとるのかを丁寧に整理します。

問題設定の整理：何を最小化しているのか

今回の条件は0≦x≦1、0≦y≦1、さらに1<x+y≦2の範囲で考えるものです。

このときx+yを一定とみなし、そのもとでxyの最小値を考える構造になっています。

まず重要なのは「和が一定のとき積がどう振る舞うか」という視点です。

y = s – x（sは定数）と置くことで、xyは x(s – x) = -x² + sx と表せます。

これは下に凸の二次関数であり、頂点で最大値をとることがわかります。

したがって最小値は定義域の端で生じることになります。

x, yはともに0から1の範囲に制限されているため、取りうる範囲は線分上の区間になります。

このとき「端点」とはx=0やx=1、またはy=0やy=1に対応する位置です。

制約付き最適化では、内部よりも境界で極値が現れることが重要なポイントになります。

y = s – x の関係のもとでxyは放物線となり、内部には最小値を持たない構造です。

そのため許される範囲の端であるx=1またはy=1に対応する点が候補になります。

実際には対称性より、どちらか一方を1に固定したときに最小値が実現します。

直感的に「両方を中間にすると大きくなりそう」という感覚は正しく、x=y=s/2では積は最大になります。

したがって「内部で最小になる」という考え方は成り立ちません。

この性質は相加相乗平均不等式からも説明可能です。

xy ≤ ((x+y)/2)² が成り立つため、積は中央で最大になります。

逆に最小値は境界に寄る構造となるため、端点評価が本質になります。

不等式の視点からも今回の結論は整合的です。

x+yが一定のときxyは二次関数として表され、内部では最大、端点で最小をとる構造になります。

したがって制約付きではx=1またはy=1が最小値候補となることが正当化されます。

この考え方は不等式問題全般に応用できる重要な基礎概念です。