積分問題において「途中までは合っているはずなのに、最後の符号や形が違う」というケースは非常によくあります。本記事では ∫(cosx)^-2 dx の計算で起こりやすいミスと、正しく -tanx（または tanx になる形の整理）へ導く考え方について整理して解説します。
まず結論：∫(cosx)^-2 dx の正しい形
∫(cosx)^-2 dx は、三角関数の基本変形を用いると sec²x の積分になります。
(cosx)^-2 = 1 / cos²x = sec²x
したがって、基本公式より
∫sec²x dx = tanx + C
となり、正しい結果は tanx + C です。
よくあるミス①：分配のような誤った変形
提示された途中式では「(cosx)^-2 dx を -(cosx)^-1 (cosx dx) のように分解する」形になっていますが、これは積分の基本ルールとして成立しません。
積分は「掛け算の一部だけを外に出す」「微分っぽく分解する」といった操作は原則できません。
特に「dx を cosx とセットで扱う」という発想は微分の逆操作として誤解されやすいポイントです。
よくあるミス②：微分公式との混同
もう一つの誤りは「cosx の微分 -sinx」を使って置換したつもりになるパターンです。
しかし今回の integrand は (cosx)^-2 であり、cosx の微分形（-sinx）とは構造が一致していません。
置換積分をするなら「u = cosx」として du = -sinx dx が必要ですが、この形は元の式には存在していないため直接は使えません。
正しい解法：指数をそのまま認識する
(cosx)^-2 はまず「cos²x の逆数」として整理するのが最も安全です。
つまり 1 / cos²x = sec²x と変形します。
この形を見た瞬間に「tanx の微分」であることを思い出すのがポイントです。
d/dx (tanx) = sec²x
なぜ tanx になるのか直感的理解
tanx は sinx / cosx ですが、その微分を考えると分母の cos²x が必ず現れます。
そのため「cos が2乗で分母にいる形」は tan の微分とセットで覚えると整理しやすくなります。
結果として ∫sec²x dx = tanx + C という形に自然につながります。
まとめ
今回のポイントは、cosx の指数処理を無理に分解しようとするとミスが起きやすいという点です。
(cosx)^-2 は sec²x として認識し、tanx の微分形として扱うのが最も確実です。
積分では「形を見た瞬間に既知の公式へ変換できるか」が正確さと速度を左右します。
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