広義積分の収束性を判定する問題では、被積分関数の特異性を正しく見抜くことが重要です。本記事では、∫[0,1] 1/√(1-x^{1/4}) dx の収束性を確認し、実際に値を求める方法についてわかりやすく整理して解説します。
まず積分の問題構造を確認する
今回の積分は ∫[0,1] 1/√(1-x^{1/4}) dx という形で、x=1 のときに分母が0に近づくため注意が必要な広義積分です。
特に x→1 のとき、1-x^{1/4} → 0 となるため、そこが発散の可能性を持つポイントになります。
一方で x=0 側では特に問題はなく、主に x=1 での挙動が収束性を決めます。
収束性の判定：特異点の近似
x→1 のとき、x^{1/4} は1に近づくため、1-x^{1/4} は小さな量になります。
ここで t = 1 – x^{1/4} とおくと、被積分関数は 1/√t 型に近い形になります。
∫ 1/√t dt は t^{1/2} に比例するため、0付近でも収束することが分かります。
変数変換による積分計算
t = x^{1/4} とおくと x = t^4, dx = 4t^3 dt に変形できます。
これにより積分は ∫[0,1] 4t^3 / √(1-t) dt に変換されます。
この形はベータ関数型の積分として扱うことができます。
ベータ関数としての評価
∫[0,1] t^{3} (1-t)^{-1/2} dt はベータ関数 B(4,1/2) に対応します。
ベータ関数の性質より B(a,b)=Γ(a)Γ(b)/Γ(a+b) を用いて計算できます。
Γ(4)=6, Γ(1/2)=√π, Γ(9/2)=105√π/16 を使うことで具体値が求まります。
積分の値
計算を整理すると、元の積分は 4 × B(4,1/2) となります。
これをガンマ関数で整理すると 4 × (Γ(4)Γ(1/2)/Γ(9/2)) となります。
結果として値は 256/105 となり、この積分は収束します。
まとめ
この積分は x=1 に特異点を持つ広義積分ですが、1/√t 型の弱い特異性のため収束します。
変数変換によりベータ関数へ帰着でき、ガンマ関数を用いて厳密な値を求めることができます。
最終的に積分値は 256/105 と求まります。
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