次のような広義積分∫[0,∞]x^(2n)e^(-αx^2)dx（α>0）は、ガウス積分の一般化として頻出する重要な問題です。本記事では、この積分の収束性と具体的な計算方法について整理します。
まず積分の収束性を確認する
被積分関数x^(2n)e^(-αx^2)は、x→∞で指数関数e^(-αx^2)が急速に0へ収束します。
多項式x^(2n)は増加しますが、指数減衰のほうが圧倒的に強いため、全体として十分速く0に近づきます。
したがってα>0である限り、この積分は必ず収束します。
ガンマ関数への変換を考える
計算を簡単にするために置換t=αx^2を行います。
このときx=(t/α)^(1/2)、dx=(1/(2√(αt)))dtとなり、積分はガンマ関数の形に変形されます。
これにより標準的な積分公式へ帰着できます。
積分の具体的な変形
置換により積分は次の形になります：∫₀∞ x^(2n)e^(-αx^2)dx = (1/2)α^(-(n+1/2))∫₀∞ t^(n-1/2)e^(-t)dt。
右辺の積分はガンマ関数Γ(n+1/2)に一致します。
したがって元の積分はガンマ関数を用いて表現できます。
最終結果と整理
以上より、積分の値は(1/2)α^(-(n+1/2))Γ(n+1/2)となります。
特にnが整数の場合は階乗や二重階乗を用いてさらに簡単な形に書き換えることも可能です。
この結果はガウス積分の一般化として非常に重要な公式です。
まとめ
∫₀∞ x^(2n)e^(-αx^2)dxはα>0で必ず収束し、ガンマ関数を用いて明確な形に評価できます。
指数関数による減衰が多項式の増加を上回るため収束が保証されます。
結果として(1/2)α^(-(n+1/2))Γ(n+1/2)という美しい閉形式が得られます。
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