二次関数の区間最大値の求め方｜y=(x-1)^2を区間[a,a+1]で考える解法と公式的な整理

二次関数の最大値を「区間の中でどうやって求めればいいのか分からない」という悩みはよくあるものです。特に変数の範囲が[a, a+1]のように動く場合、グラフを毎回描く方法では時間がかかり混乱しやすくなります。本記事では、計算で機械的に処理できる考え方を整理していきます。

まず関数の形を整理する

与えられた関数は y = x^2 – 2x + 1 です。

これは平方完成すると y = (x – 1)^2 となります。

この形にすることで「下に凸の放物線で、x=1のとき最小値0」という性質がすぐに分かります。

二次関数の最大・最小は、区間内では基本的に次の3点で決まります。

・頂点（x=1）

・区間の左端 x=a

・区間の右端 x=a+1

ただし今回は上に開く放物線なので「最大値」は端点で決まります。

重要なのは x=1 が区間 [a, a+1] に含まれるかどうかです。

条件は a ≤ 1 ≤ a+1 なので、これを整理すると a ≤ 1 かつ a ≥ 0、つまり 0 ≤ a ≤ 1 となります。

この場合は頂点が区間内にあるため、最小値は0ですが最大値は端点になります。

関数 y = (x-1)^2 は頂点から離れるほど大きくなるため、最大値は端点で比較します。

f(a) = (a-1)^2、f(a+1) = (a)^2 を比較します。

どちらが大きいかは a の値によって変わるため、場合分けが必要です。

① a ≤ 0 のとき：区間は1より左にあるため、最大は f(a+1)=a^2

② 0 ≤ a ≤ 1 のとき：両端と頂点の位置関係を確認し、比較で決定

③ a ≥ 1 のとき：区間は1より右にあるため、最大は f(a)=(a-1)^2

このように「頂点と区間の位置関係」で機械的に処理できます。

二次関数の区間最大値は、グラフを毎回描くのではなく「平方完成→頂点→端点比較」の流れで処理するのが基本です。

特に y=(x-1)^2 のような形では、頂点x=1と区間[a,a+1]の位置関係を見ることで、ほぼ機械的に答えを出すことができます。

この手順を固定化すると、テスト問題でも安定して解けるようになります。