二次方程式の解が特定の範囲に収まる条件を考える問題では、途中で「a²-a+1>0」という式が出てきて、その意味が分からなくなることがあります。
この不等式は単なる計算結果ではなく、解の存在条件を判断するための重要な判定式の一部です。
結論：a²-a+1>0は「必ず2つの実数解を持つ」ことを示す条件
まず結論から言うと、a²-a+1>0は二次方程式の判別式に関係する「解の存在条件」を表しています。
この式は判別式D/4を整理した結果として現れ、常に正であることを示しています。
つまり「この式自体はどんなaでも正になる＝実数解の存在を妨げない」という意味を持っています。
どこからa²-a+1>0が出てくるのか
与えられた二次方程式は x² – 2(a+1)x + 3a = 0 です。
判別式Dは b² – 4ac で求められるため、ここでは b = -2(a+1), a=1, c=3a を代入します。
D/4を計算すると (a+1)² – 3a となり、これを整理すると a² – a + 1 になります。
この不等式が意味するもの
a²-a+1は平方完成すると (a – 1/2)² + 3/4 になります。
この形から分かるように、どんな実数aを入れても必ず正の値になります。
つまり「常に正であるため、判別式は常に正 → 異なる2つの実数解を持つ可能性が常にある」という意味になります。
なぜ条件として書かれているのか
二次方程式の問題では「解が存在するかどうか」をまず確認する必要があります。
a²-a+1>0という形で書くことで、パラメータaによって解の性質が変わらないことを示しています。
その後に、軸の位置や端点での符号条件を組み合わせて、範囲内に解があるかを判断します。
グラフで考えると理解しやすい理由
この不等式は、放物線の「開き方や位置」を制限するものではなく、判別式が常に正であることを保証する条件です。
グラフ的には、どのaでも下に凸の放物線がx軸と2点で交わりうる状態を意味します。
まとめ
a²-a+1>0は単なる計算結果ではなく、判別式を整理した結果として得られる「常に正である式」です。
そのため、この条件は二次方程式が常に2つの実数解を持ちうることを示す重要な意味を持っています。
問題全体では、この条件を基礎として、さらに軸や端点条件を組み合わせて解の位置を決定していきます。
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